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本文主要研究RN(N＞4)上一类重调和方程△2u=-f(x，u){lim|x|→∞u(x)=0(0.1)u∈H2(RN)，x∈RN非平凡解的存在性.
由于条件-f(x，u)＞f(u)=lim|x|→∞-f(x，u)不一定成立，即方程在基本状态下的能量函数不一定小于方程在无穷状态下的能量函数.(注：方程在基本状态下的能量函数为：(0.1)所对应的泛函J(u)=1/2∫RN|△u|2dx-∫RN-F(x，u)dx.方程在无穷状态下的能量函数为：J∞(u)=1/2∫RN|△u|2dx-∫RNF(u)dx.其中-F(x，u)=∫u0-f(x，t)dt；F(u)=∫u0f(t)dt)因此，我们无法运用通常的集中紧致的方法，对此问题进行研究.为此，我们将方程转化为RN(N＞4)上一类带有扰动项的重调和方程△2u=f(u)+εg(x，u){lim|x|→∞u(x)=0(0.2)u∈H2(RN)，x∈RN并运用扰动方法对此进行了研究.(其中，εg(x，u)=-f(x，u)-f(u)，ε为任意小常数)f(u)=O(up)，1＜p＜N+4/N-4时，在文献[5]和[6]给出了ε=0时，方程(0.2)的唯一非平凡解z0.f(u)=up,p=N+4/N-4时，文献[8]给出了ε=0时，方程(0.2)的唯一球面对称正解z0(x)=CN(1+|x|2)-N-4/2，CN=[(N-4)(N-2)N(N+2)]N-4我们将这两种情况下方程(0.2)所对应泛函J0(u)=1/2∫RN|△u|2dx-∫RNF(u)dx的临界点流形统一记为Z={zθ：θ∈RL}.
在此基础上，规定g(x，u)满足一定的条件，目的是寻找H2(RN)上的一个光滑函数ω=ω(θ，ε)：RL×R→H2(RN)，并进一步构造流形~Z={zθ+ω(θ，ε)：zθ∈Z，θ∈RL}，以便证明，如果J0(u)满足某种条件，则存在ε0＞0，使得当ε∈(-ε0，ε0)时，方程(0.2)所对应的泛函Jε(u)=1/2∫RN|△u|2dx-∫RN(F(u)+εG(x，u))dx约束在~Z上的极值为整体极值，即当u∈~Z且()Jε|~Z(u)=0时，有()Jε(u)=0.(其中F(u)=∫u0f(t)dt；G(x，u)=∫u0g(x，t)dt)
进一步，定义一个函数Γ：(-ε0，ε0)×RL→R，Γ(ε，θ)=∫RNεG(x，zθ)dx，证明Jε(u)约束在~Z上的临界点，对应于Γ(ε，θ)在(-ε0，ε0)×RL上的临界点.最后，证明f(u)=O(up)，1＜p＜N+4/N-4和f(u)=up，p=N+4/N-4两种情况下，lim‖θ‖→∞Γ(ε，θ)=0均成立.即Γ(ε，θ)在θ的无穷远处为0，则必在θ的有限处存在极值.从而，Γ(ε，θ)在(-ε0，ε0)×RL上的临界点存在.在证明之前我们需要验证在f(u)的两种情况下对J0(u)的假设条件均成立，则以前得出的结论都成立.
由Γ(ε，θ)在(-ε0，ε0)×RL上的临界点存在，可知Jε(u)约束在-Z上的临界点存在，再由Jε(u)约束在Z上的极值为整体极值，可知Jε(u)在整体上的临界点存在，从而问题(0.2)的非平凡解存在性得证，也即问题(0.1)非平凡解的存在性得证.