本文选取了几种较为典型的反应扩散方程(组)模型进行研究，主要研究了这些模型中相应平衡态的椭圆型方程(组)解的存在性的一些结果，全文主要包括三部分的内容：第一部分，对生物学中描述形态形成的一个反应扩散方程组进行研究，利用锥映射不动点指数计算方法，结合极值原理、解耦方法得到了此方程组正平衡解的存在性和唯一性。其过程表明：对此类微分方程组的解耦方法类似于代数方程中的消元法。第二部分，考虑一类来源于核反应过程中的半线性抛物方程组，将利用抽象的正锥上的不动点定理，结合精细的先验估计技巧，讨论一类半线性反应扩散系统的初边值问题，将得到了其正平衡解的存在性，有序正平衡解的唯一性；也利用平衡态方程的解进而来讨论系统正解的整体存在性和爆破，得到了一个门槛结果；最后得到了爆破解的爆破速率估计。第三部分，将利用上下解方法与临界点理论，研究一类双参数的p-Laplacian拟线性方程的正解，在两个参数各自给定的范围内得到了正解的存在性与多解性。各部分中均将微分方程(组)转化为算子方程或泛函方程，通过研究相应算子方程的不动点或变分泛函极值的存在性来研究原微分方程(组)解的存在性，各种不动点定理以及临界点理论发挥了重要作用。