理想的准素分解与矩阵分解是计算代数的核心问题，它们在计算机代数、计算代数几何、代数编码和密码学、多维系统理论等学科都有非常重要的理论意义与应用价值.Gr(o)bner基理论是研究理想的准素分解与矩阵素分解的重要工具之一.　　本文主要讨论理想的准素分解和矩阵分解以及Gr(o)bner基的理论与算法等问题.全文由六章组成.　　第一章，主要对所研究问题的历史背景、研究现状和研究方法进行较全面的综述.　　第二章，主要研究主理想整环上多项式环理想的Gr(o)bner基算法.将目前效率最快、形式最简单的计算域上多项式环理想的Gr(o)bner基算法(GVW算法)拓展到主理想整环上的多项式环理想，并给出例子对所推广的算法进行说明.　　第三章，首先，研究多元多项式矩阵一般分解问题.我们考虑行满秩矩阵F∈Cl×m[z]的l-1级子式，得到几类存在一般分解的多项式矩阵.接着研究多项式矩阵因子素分解问题，获得一些更简便的判别f是否为正则因子的条件.最后，研究唯一分解整环上的矩阵素分解问题，得到该环上行满秩矩阵F∈Dl×m[z]具有子式素分解的充分必要条件是ρ(F)∶d是秩为l的自由模，其中ρ(F)是F的行向量生成的子模.对正则因子f，获得F具有因子素分解的充分必要条件为ρ(F)∶f是秩为l的自由模.　　第四章，首先，我们对零维理想关于某个变元是否为正常位置进行讨论，给出零维理想关于某个变元是否为正常位置的等价条件，得到一种较容易的求该理想准素分解的方法，对某些理想能较快地得到其部分准素分支;接着，研究当给定零维理想对所有变元都不是正常位置时，对该零维理想的扩张理想中c的选取进行讨论，找到一种去随机化，确定、快速选取c的方法.　　第五章，研究具有特殊性质的Gr(o)bner基，给出弱Gr(o)bner基的定义及其在多项式复合下的应用，并利用给出的新准则研究下面两个问题:　　问题1什么时候集合{f+s，g+t}都是Gr(o)bner基，其中，s，t是系数域k上的任意元素;　　问题2什么时候集合{fλ，gσ}都是Gr(o)bner基，其中，λ，σ是任意非负整数.　　得到:　　1，对任意s，t∈k，{f+s，g+t}是Gr(o)bner基当且仅当lm(f)与lm(g)互素;　　2，对任意非负整数λ，σ，{fλ，gσ}是Gr(o)bner基当且仅当f与g首项平衡.　　第六章，我们利用结式理论给出任意多项式环R[x1，…，xn]（R是唯一分解整环）上的m个多项式f1，f2…，fm互素判定的充分必要条件.