图论作为一门发展迅速的新兴学科,近年来广泛应用于信息论、控制论、网络理论、博弈论、运筹学等各个领域。本文主要考虑了图论中的两个重要方向。第一部分是图的染色问题。图的染色问题是图论领域的一个重要研究方向,主要包括图的点染色、边染色、面染色、弱边面染色等。其中边染色是图的染色中一个经典研究课题。本文主要研究了边染色图中2-因子的存在性。我们证明了对于任意含n个点的边染色图G,如果图G满足对任意的M,v∈V(G)总存在CN(u)∪CN(v)|-43+8,则G包含一个正常染色2-因子。第二部分是图的谱理论。图谱理论作为图论和组合矩阵理论中的重要组成部分广泛应用于计算机科学、量子化学、网络通信等领域。对图的特征值的研究是图谱理论中的一个经典研究课题。本篇文章主要研究了图的Aα矩阵谱半径(最大特征值)的上界,我们证明了如果ρα(G)=A1(G)≥λ2(G)≥…≥λn(G)是矩阵Aα(G)的特征值,k是图G的着色数(k>2),则ρα(G)≤2αe-(λn(G)+…+λn-k+2(G))。此外,我们还给出了图的Aα矩阵的第二大特征值的一些上界。