该文主要研究了弹性力学问题的四边形Locking-free元,内容也是围绕这一主题展开的.为了研究MITC四边形R-M板元,该文将矩形的切向连续元推广到一般四边形,给出了相应的插值算子的h-p型误差估计,详细地讨论了误差估计对网格扭曲参数α的依赖关系,给出了一个反例表明这些估计是最优的,不能改进.这部分内容本身也是有意义的.将六族几乎不可压平面弹性问题的矩形Locking-free元推广到一般四边形,分析了它们的h-p型误差.系统地研究了MITC四边形R-M板元,提出和证明了稳定和收敛的充分条件,建立了抽象的误差估计.首次证明了一般四边形网格上的离散Helmholtz分解.将文献中四族矩形R-M板元推广到一般四边形,证明了它们满足我们提出的条件,得到了h-p型误差估计,明确了误差估计对网格参数α的依赖关系.证明了一族高阶板元(次数k≥2)的能量模和L<2>模误差估计与α无关.将非协调的矩形M-S1元和M-S2元推广到四边形,得到了与网格参数α有关的误差估计.提出了改进的M-S1元和M-S2元,证明了能量模误差估计和α无关,但L<2>误差估计仍然依赖于此参数.当α=1时,前面的误差估计都可达到最优.改进了M-S2元的误差估计,证明了此元在经典意义下的收敛性,给出了非协调旋转Q<,1>元离散Korn不等式的最优估计.提出了一个新的一阶四边形R-M板元,证明了此元的能量模和L<2>模误差估计都与网格参数α无关.研究了文献中三个一阶矩形板元,即Z-Z元、Weissman-Taylor元和MITC4元,证明了它们是一致收敛的,并得到最优能量模误差估计和L<2>模误差估计,从而解决了多年来没有解决的这些元的收敛性问题.上述理论结果得到了数值实验的验证.提出了一个新的四边形非协调元,即带约束非协调旋转Q<,1>元.系统研究了此元的性质和应用.证明带约束非协调旋转Q<,1>元的相容性和逼近性,研究了它的超收敛性,得到了三类导数超收敛点,即节点、边的中点和单元的中心.考虑了带约束非协调旋转Q<,1>元在Stokes问题和几乎不可压平面弹性问题中的应用.证明了CNR-Q<,0>元具有Q<,1>-Q<,0>相似的稳定性和收敛性,证明了带约束非协调旋转Q<,1>元对平面弹性问题是Locking-free的.详细地研究了基于不连续剪应力空间的四边形R-M板元.提出并证明了此类四边形R-M板元稳定和收敛的充分条件,这些条件同样也适用于三角形R-M板元,证明了抽象的误差估计.以双线性元(加上适当的协调泡函数)逼近旋度,修正旋转非协调元逼近挠度,提出了几个四边形元.证明了这些元满足前面的条件和它们的误差估计.将矩形的Ye元推广到一般四边形.