各种类型的三元系是组合设计理论的主要研究对象之一,这方面的研究已经取得了丰硕的成果[1][24]。本文将要研究和一类标号图有关的三元系——幻三元系的存在性和构造方法。1992年Lee,Tan和Seah [4]共同研究了图论标号问题,并提出了幻图的概念。其内容如下:设图G有p个顶点,q条边。我们定义一个双射函数f: ,即将每条边映射到集合{1,2,…,q}中的一个数字。我们在此基础上再定义标号函数g:E (G )→{1,2,...q}ZV (G )→p,g(x)=f(u1)+f(u2)+…+f(un) ,其中x是任意顶点,ui (0<i<n+1)是与x相关联的第i条边。如果?x∈V(G),g(x)(mod p)是一个常数,则称图G为幻图。如果图G是一个立方图并且也是幻图。我们令α=E(G),并且对每个顶点相关联的三条边,例如e1, e2, e3,令(f(e1), f(e2), f(e3))为一个区组。这样可以得到一个区组的集合B,定义参数k=p,β=B。由此我们就得到了一种新的三元系。下面给出它的确切定义:令X为集合[α],α≥3,并且B为X的三元子集的集合, B =β,且满足以下条件:⑴X中的每个元素在B中刚好出现λ次。⑵X中的每两个二元子集在B中最多被包含2次。⑶B中的任意两个三元组{a,b,c},{d,e,f},满足a + b+c≡d+e+f( modk)。则称(X, B)为(α,β,λ,k)幻三元系,记作(α,β,λ,k)-MTS。本文主要研究了(α,β,λ,k)-MTS存在的必要条件。并且在a + b+c≡0( modk), k =2,α为偶数的条件下,利用区组设计中三元系的思想和结论以及可分解设计的特性,根据λ模6的6种情形细致研究了(α,β,λ,k)MTS的存在性以及构造方法。并且从中得到了很有用途的相关定理和推论。