【摘 要】
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在过去三十年中,分数阶微积分（即任意阶积分和导数）的理论和应用得到了广泛的关注并取得了重大进展。分数阶偏微分方程在许多领域也都有了广泛应用。例如:生物力学、粘弹性材料、时滞系统,图像处理和流体力学等。相比于整数阶偏微分方程,分数阶偏微分方程能够更好的拟合某些物理过程,如具有记忆和遗传效应的材料以及分形多孔介质中的扩散和热传导等物理过程。另外,以分数阶微分方程为状态方程的最优控制问题已发展成为分数阶
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在过去三十年中,分数阶微积分（即任意阶积分和导数）的理论和应用得到了广泛的关注并取得了重大进展。分数阶偏微分方程在许多领域也都有了广泛应用。例如:生物力学、粘弹性材料、时滞系统,图像处理和流体力学等。相比于整数阶偏微分方程,分数阶偏微分方程能够更好的拟合某些物理过程,如具有记忆和遗传效应的材料以及分形多孔介质中的扩散和热传导等物理过程。另外,以分数阶微分方程为状态方程的最优控制问题已发展成为分数阶微分方程理论的一个重要研究方向。因为分数阶微分系统比整数阶微分系统能更合理、精确地刻画系统的动态变化过程。所以这类系统也必将有更广泛的应用前景。本文中主要研究了两类空间分数阶发展方程解的存在唯一性。进一步,利用Lions的理论分析方法讨论了此两类发展方程的二次最优控制问题。主要内容如下:基于分数阶Laplace算子和分数阶Sobolev空间的性质,通过Gal（?）rkin逼近方法,对一类空间分数阶波动方程进行研究,得到了方程弱解的存在及唯一性。将一类由Poisson白噪声驱动的扩散方程的研究结果推广到空间分数阶扩散方程情形。进一步,在高维的情况下得到了空间分数阶扩散方程解的存在及唯一性。分别在以上两类空间分数阶发展方程解存在唯一的基础上,研究了两类分数阶非线性控制系统的最优控制问题。通过对解映射性质和二次函数极小值点存在性的讨论,得到了最优控制的存在性。
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