数学学者提出互补问题是从20世纪60年代开始到现在的,特别是在过去的30年里,互补问题得到快速发展。各种形式的互补问题被应用于工程,机械,经济及运筹学。接触力学问题、断裂力学问题、弹塑性问题、障碍和自由边界问题、弹性流体动力润滑的问题在工程中都有应用,还包括最优控制问题和交通平衡问题等。在经济领域中的应用主要有瓦尔拉斯均衡、对策论模型以及空间价格平衡。换句话说,这些问题都可以建模为一个互补的问题,从而最终归结为互补问题的求解。求解问题可以分为理论与算法研究。解的存在性,唯一性,稳定性是理论研究的支持的依据,而如何建立一个有效的算法及其理论分析是算法研究的基石。上个世纪90年代,很多数学工作者对同伦算法进行研究,其中廖世俊的研究取得了很大的成绩,廖世俊对同伦变换从拓扑学的原理入手进行研究,从而进一步地使同伦分析方法得到发展。特别对于同伦分析法,由于这个方法在寻找级数解时对其各个辅助参数的选择具有高度灵敏性,这样就使得对不同的微分方程都有很强的韧性,同时该种方法能轻松地改变级数解的收敛区域以及收敛速度,而这些方法已经被广泛地应用到实际问题中。从另一方面来说,廖世俊和其合作的数学工作者已经证明：标准的阿多米安分解法(ADM)就是HAM的特殊情况,然而这个证明也说明了它们两者之间存在着密切的联系和惊人的相似性。自从阿多米安分解法(ADM)出现以来,阿多米安和其他合作的数学工作者力求不断改进其迭代分解的方法,并且给出各种可能解决问题的改进方法,这些改进方法使得迭代分解方法更进一步提高其收敛速度。第一章：主要叙述了互补问题的几种不同类型：线性的和非线性的；又介绍了互补问题在实际情况中的应用：交通问题方面。之后又简要介绍了互补问题的基本算法：同伦内点算法。第二章：第一部分主要给出水平线性互补问题中常用矩阵对及其性质,并相应给出重要定义和定理；第二部分主要研究半正定矩阵对及P*-矩阵对的性质；第三部分主要研究只-矩阵对水平互补问题解集的凸性。第三章：首先给出运用同伦算法求解水平互补问题：参数化SADR定理光滑流形,逆象定理,一维光滑流形的分类定理等。其次给出内点法求解水平互补问题和水平互补问题的例外族等。第四章：重点研究水平线性互补的同伦组合的复杂性,给出一些重要引理及其复杂性分析。