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本文在文献[31]给出Navier-Stokes方程的Cauchy问题在弱Morrey空间中解存在唯一性的基础上进一步研究其在弱Morrey空间中解的衰减性质.本文共分五章:第一章为引言,给出了本文要研究的方程模型的推导和要用到的记号及部分结论；第二章在Lpw空间的基础上我们构造一类弱Morrey空间,并进一步研究了弱Morrey空间的主要性质:第三章在弱Morrey空间中建立热核算子的估计并证明了投影算子在弱Morrey空间中的有界性；第四章证明了Navier-Stokes方程的Cauchy问题在弱Morrey空间中解的衰减性；第五章证明了Navier-Stokes方程的Cauchy问题对应的涡度方程在弱Morrey空间中解的衰减性.具体内容如下:
在第二章中,我们考虑Navier-Stokes方程的Cauchy问题:
其中u(t,x)=(u1(t,x),u2(t,x),…,un(t,x))表示速度,p(t,x)是Rn中的不可压缩粘性流体的压力(其粘性系数为v>0),φ(t,x)是外力,下标t,x分别表示对t,x求导.为此,我们将对(0.1)等价变形为
第三章在弱Morrey空间中建立了热核算子的估计并证明了投影算子在弱Morrey空间中的有界性.主要结果如下:
定理1设A,B∈△,A=(1/p,α),B=(1/q,β).点B在线段[OA]上或者其右下方,0≤β≤α≤n.则对t>0,U(t)P,W(t)P=()U(t)P及()tU(t)P除A=B=O外是M*(A)到M*(B)()M*(B)的关于时间t连续的有界线性算子.而且对于f(x)∈M*(A)有:
其中常数C依赖于p,q,α,β.
第四章证明了Navier-Stokes方程的Cauchy问题在弱Morrey空间中解的衰减性.主要结果如下:
定理2设α∈(M)*(A0)∩ M*(B0),A0=(1/p,1),B0=(1/q,β)∈△,1<β≤m,P=q=1的情形除外.如果‖α；A0‖+‖α;B0‖充分小,则Navier-Stokes方程存在唯一的整体解且满足如下衰减性:
‖u(t)‖∞=O(t-β/2),当→∞时.(0.13)
第五章证明了Navier-Stokes方程的Cauchy问题对应的涡度方程在弱Morrey空间中解的衰减性.