近年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐产生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方法、变分方法等．这些方法成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有成效的理论工具。 本文主要利用锥理论，不动点指数和上下解方法在Banach空间中研究非线性微分系统边值问题正解的存在性，有关微分方程边值问题解的存在性、正解的存在性和唯一性在二十世纪八十年代以来得到了广泛的研究(如文[2]，[4]，[15]—[17])．在此基础上，本文更进一步研究了微分方程组边值问题正解的存在性。 第一章讨论了下列n阶非线性常微分方程组边值问题多个正解的存在性，其中f，g∈C[[0，1]×R+，R+]，g(t，0)=0，R+=[0，+∞)．文[5]和[11]—[14]考虑了二阶耦合系统解的存在性，文[6]和[7]又分别考虑了三阶和四阶耦合系统解的存在性．本章在此基础上，受文[2]的启发，进行了推广，考虑了如上n阶非线性常微分方程组边值问题．对于这个问题的研究，据我们所知至今还没有相关文献．本章利用范数形式的锥拉伸和锥压缩不动点定理，在适当的条件下，分别得到了至少一个正解(见定理1.2.1和定理1.2.2)和至少两个正解(见定理1.2.3)的存在性结果。 第二章讨论了微分系统奇异半正三阶三点边值问题多个正解的存在性，其中λ∈R+=[0，+∞)，f∈C[(0，1)×(0，+oo)×R+，R]，g∈C[(0，1)×R+×(0，+oo)，R]．文[19]—[22]讨论了奇异微分系统边值问题正解的存在性，文[23]讨论的是奇异半正微分系统边值问题至少一个正解的存在性．在此基础上，本章考虑了如上奇异半正微分系统边值问题．利用不动点指数，得到了至少两个正解(见定理2.2.1和定理2.2.2)的存在性结果，并举例说明了其条件的合理性。 第三章讨论了四阶奇异微分系统边值问题解的存在性，其中fi(t，x1，x2，x3，x4)(i=1，2)可能在t=0，t=1，x1=0，x2=0，x3=0和x4=0处奇异．目前很多学者考虑的奇异问题一般都是在t=0和t=1奇异(如文[1]，[3]，[11]，[20]，[22])．文[4]，[19]和[22]—[28]考虑的问题中，f(t，x1，x2)不仅在t=0和t=1奇异，而且在x1=0或x2=0奇异，文[29]考虑的问题是f(t，x1，x2，X3)在t=0，t=1，x1=0，x2=0和x3=0处奇异，g(t，x1，x2)在t=0，t=1，x1=0和x2=0处奇异．本章在此基础上进行了推广，考虑了如上奇异边值问题解的存在性．对于此类奇异的问题，到目前为止还没有见到相关文献进行研究．本章在文[24]—[29]的启发下，利用上下解方法和比较结果，在适当的条件下，得到了C2[0，1]正解(见定理3.2.1)和C3[0，1]正解(见定理3.2.2)存在性的充要条件，并举例说明了其条件的合理性。