本文首先讨论了带临界指数的半线性椭圆方程多重正解的存在性,其中Ω(?)RN(N≥3)是具有光滑边界的有界开区域,λ是一个正实参数,2*=2N/N-2是临界指数.首先,我们对函数f和g做如下的假设：(f)f在Ω上是连续函数,f≥0且f≠0；(g1)9在Ω上是连续函数,g>0：(g2)在Ω上存在k个点a1,a2,…,ak满足且对某ρ>N,当x→a,使得：g(a)-g(x)=O(?x-α|p)且关于a∈K一致成立.我们主要利用了变分法,分析技巧和Nehari流形技巧,得到如下结果.定理1.假设λ∈(0,Λ),函数f在Ω上是连续的,f≥0且f≠0,g在Ω上是连续的,且g>0,则方程(P1)至少有一个正解.如果3≤N≤6,我们可以得到比定理1更好的结果.我们有如下的结果.定理2.假设3≤N≤6,函数.f和g满足(f)-(92)条件,则存在一个Λ*>0,使得对于任意的λ∈(0,Λ*),方程(P1)至少有k+1个正解.接下来,我们研究了一类带临界指数的半线性椭圆方程多重变号解的存在性,其中Ω(?)RN是具有光滑边界的有界开区域,λ是一个正实参数,N>6,N/N-2<q<2,2*=2N/N-2是临界指数.定理3.设f和g满足(f)-(g2)条件,N/N-2<q<2和N>6,则存在一个正数A*∈(0,Λ),使得对所有的λ∈(0.Λ*),方程(P2)至少有k个变号解.