线性方程组的求解在计算科学、应用数学和工程领域占有非常重要的地位,也是科学计算的中心问题.特殊矩阵在优化理论、数字信号处理、自动控制、系统辨识、工程计算等众多领域有着广泛的应用.广义逆的概念最早来源于线性方程组的求解.鞍点问题属于特殊的线性代数方程组.因此,利用特殊矩阵自身的特殊结构得到计算特殊矩阵为系数矩阵的线性方程组稳定而快速的计算方法、研究线性方程组的求解时顺便得出广义逆矩阵的相关算法、寻求高效快速的鞍点问题迭代解法等研究课题具有重要的理论价值和现实意义.基于上述研究目的,本文的主要研究工作如下：通过对满秩的m×nCauchy型矩阵C构造特殊的分块矩阵,进而研究其逆的三角分解或其直接的三角分解,分别给出C为系数矩阵的不相容方程组极小范数最小二乘解的三种快速算法.三种新的方法比一般方法,如解法方程组和正交化法,降低了计算复杂度,数值实验表明新方法运算起来更加有效.对于m×nCauchy型矩阵C构造特殊的m×n分块矩阵,利用分块矩阵的求逆公式给出其逆,进而间接的得到矩阵C的Moore-Penrose逆及其快速算法.该方法比常规方法降低了运算量.数值实验表明新方法更加有效.对于m×nCauchy型矩阵C,通过方程组是否有解,给出其左逆及右逆的单边求逆公式.基于正定和反埃尔米特分裂（PSS）迭代法,给出了求解鞍点问题和广义鞍点问题的几种广义Uzawa迭代法,并分析了这些方法的收敛性.数值实验说明了算法的有效性.