【摘 要】
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辐射扩散方程的数值模拟对于受控约束核聚变、等离子体物理、天体物理等各类实际的工程和物理问题的研究具有重要意义.由于工程上对于这类可压的辐射流体力学问题界面的分辨精度要求很高,通常采用拉格朗日法进行模拟.数值模拟的网格可能随着流体的运动而扭曲变形,能量扩散的模拟就需要在扭曲的网格上进行.本文以扭曲网格上的辐射扩散方程的保正和保极值有限体积格式为研究对象,主要做了以下的工作:首先,我们构造三维扩散方程
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辐射扩散方程的数值模拟对于受控约束核聚变、等离子体物理、天体物理等各类实际的工程和物理问题的研究具有重要意义.由于工程上对于这类可压的辐射流体力学问题界面的分辨精度要求很高,通常采用拉格朗日法进行模拟.数值模拟的网格可能随着流体的运动而扭曲变形,能量扩散的模拟就需要在扭曲的网格上进行.本文以扭曲网格上的辐射扩散方程的保正和保极值有限体积格式为研究对象,主要做了以下的工作:首先,我们构造三维扩散方程的保正有限体积格式.采用单元节点定义辅助未知量,将主未知量定义在单元中心.以经典的非线性两点通量近似为基础离散扩散通量.通过构造新的保正插值算法,避免了插值过程中辅助未知量的值出负.该算法适用于任意多面体网格,同时具有二阶的精度.为了避免联合法向量凸分解所需的搜索过程,我们给出了固定模板的保正有限体积格式.此格式在每个单元面上扩散通量的离散表达式包含面上的所有辅助未知量.我们设计了新的插值算法,并改进了Anderson加速算法来提高非线性迭代时的计算效率.数值算例表明两种新的保正有限体积格式在求解扭曲网格上的间断各向异性扩散问题时具有二阶的精度.为构造非定常扩散方程的保极值有限体积格式,我们在每个单元边引入调和平均点来定义辅助未知量,这使得插值过程更加简单.由于每个单元边上只有一个调和平均点,扩散通量的离散表达式被定义在一个小的模板上.我们通过理论分析证明了离散格式的解满足极值原理,并给出了格式的稳定性分析.其次,构造可用于求解二、三维对流扩散方程的保正和保极值有限体积格式.保正格式的构造是基于经典的非线性两点通量近似和改进的对流通量离散方法.在对流通量离散过程中使用的线性重构法的基础上,我们得到了一种新的保正节点插值算法.由于Picard迭代在求解非线性系统时收敛速度较慢,因此将改进的Anderson加速算法用于加快非线性迭代时的收敛速度.针对实际应用中的放射性核废料库问题,我们构造了固定模板的保正有限体积格式.为了使离散格式具有保正性,我们在对流通量的离散过程中增加了一个非负项.此格式不需要具有保正性的插值算法,也不需要对联合法向量进行凸分解.这些性质使得我们的离散格式能够高效地求解非结构网格上的放射性核废料库问题.此外,我们给出了适用于二、三维对流扩散方程的二阶精度的保极值有限体积格式,并证明了离散格式的解满足极值原理.数值实验也验证了算法的有效性.随后,构造非平衡辐射扩散方程的保正有限体积格式.将辅助未知量定义在单元节点,主未知量定义在单元中心.扩散通量的离散表达式定义在固定的模板上.对于有通量限制的问题,通过使用最小二乘法计算扭曲网格上数值解的梯度,进而得到辐射扩散系数的高精度逼近.这些性质使得我们的数值格式能够有效地解决扭曲上的非平衡辐射扩散问题.理论上证明了离散格式的保正性和解的存在性.最后,给出了三温辐射扩散方程的保正和保极值有限体积格式.由于此方程具有强间断,强非线性和强耦合性等特点,构造求解扭曲网格上的三温辐射扩散方程的数值格式具有一定的挑战性.通过使用新的非线性两点通量近似离散扩散通量,该格式不要求插值算法具有保正性,也不需要对每个单元边上的法向量进行凸分解.我们证明了保正格式离散解的存在性,并给出了稳定性分析.以保正格式为基础,我们构造了三温辐射扩散方程的保极值有限体积格式.此格式在扭曲网格上满足局部守恒性和离散极值原理.此外,我们分析了保极值格式离散解的存在性和稳定性.数值结果表明保正和保极值格式能够有效的模拟三温辐射扩散问题.
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