一些测量小尺度材料的实验，如Fleck等人的细铜丝扭转试验，Stolken和Evans的薄梁弯曲试验都证明当非均匀塑性变形的特征长度为微米量级时，金属材料呈现出很强的尺度效应。传统弹塑性理论的本沟关系不包含任何特征长度，不能解释材料的尺度效应，而应变梯度理论引进了表示长度量纲的参数，因此能够有效解释材料的尺度效应。偶应力理论就是应变梯度理论之一，考虑偶应力的问题至今只有少数经典问题有了解析解，所以建立合适的数值方法就成为将偶应力理论应用于工程的有效途径。约束转动的偶应力理论中，有宏观转角与微观转角相等的约束条件，对于这个约束的引入，大都是采用罚函数法，但是罚函数法本身存在着罚函数不易确定等缺点，本文以拉格朗日乘子引入偶应力的约束条件来克服罚函数法的这些缺点，通过实例验证了此方法的可行性及有效性。 本文主要研究内容有： 对偶应力理论的力学行为进行了系统的描述。 针对偶应力理论对一般单元c~1连续性的特殊要求，进一步对非协调单元与杂交元进行了研究。为了改善二维线性单元的性质，提高其精度，Wilson提出在单元的位移插值函数中附加内部无结点的位移项，该种单元称为非协调元。杂交元是假定单元内部平衡的应力和相邻单元间协调的边界位移。杂交元法是由多变量变分法推导，但是最后求解时，只是以结点位移为未知数的有限元法。在构造这两种单元考虑偶应力的修正泛函时采用拉格朗日乘子引入宏观转角与微观转角相等(ω=φ)的约束条件。 分别以四结点非协调元和杂交元分析了带中心小孔的无限大平板在单轴拉伸及纯剪状态下的应力集中情况，验证拉格朗日乘子法的可行性、正确性及有效性。拉格朗日乘子法使方程组中除未知量外不含任何须调整的系数，算例证明了本文研究的方法具有效率高、稳定性好等优点。 在基体中加入二相材料进行增韧的方法现在已得到了广泛的应用，但是对其增韧的机理现在尚处于探讨之中，本文用偶应力理论对增韧的机理进行了一定程