Mathieu子空间是理想的自然推广,源于Jacobi猜想的研究.这一概念由赵文华教授在2007年提出,Mathieu子空间的理论目前处于起步阶段.本文第一部分介绍了Mathieu子空间这一概念的引入、研究背景和研究进展.首先介绍了Mathieu子空间与像猜想、(广义)消逝猜想以及racobi猜想之间的关系,然后介绍了像猜想、广义消逝猜想的一些已知结果,并介绍了研究这些问题的工具和方法.第二部分是我们自己关于Mathieu子空间和广义消逝猜想的一些结果.设k是特征零的域,k[x,y]是k上的二元多项式代数,我们证明了对于k[x,y]上形如∧＝((?)x－Φ((?)y))(?)y,的微分算子,广义消逝猜想成立,其中Φ((?)y)是关于(?)y的一元多项式,即若Φ(ξ)＝ q0q1ξ+q2ξ2+…+qξ藩,则Φ((?)y)=q0+q1(?)yq2(?)y2+…+qs(?)ys.另外,证明了k上n元多项式代数的某些单项式导子的像是Mathieu子空间.主要结果如下：定理0.1对于k[x,y]上这样的微分算子∧=((?)x－Φ((?)y)(?)y和所有的多项式p(x,y)∈ k[x,y]广义消逝猜想成立,即若∧mPm=0,(?)m≥1,则对任意的Q∈k[x,y],∧m(QPm)=0,对所有充分大的m成立.定理0.2设D:=M∑ni=1aizi(?)zi是n元多项式代数K[z]:=K[z1,z2,…,zn]上的导子,其中ai∈k(1≤i≤n),M为k[z]中的单项式,则D的像ImD为k[z]的一个Mathieu子空间.