【摘 要】
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对于任意的整数n≥1,m≥2,k1≥0,…,km≥0,k1+k2+…+km=n,定义易知,(k1,k2,…,kmn)为多项式(x1+x2+…+xm)n“中x1k1x2k2···xmkm的系数,因此称(k1,k2,…,kmn)为多项式系数.
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对于任意的整数n≥1,m≥2,k1≥0,…,km≥0,k1+k2+…+km=n,定义易知,(k1,k2,…,kmn)为多项式(x1+x2+…+xm)n“中x1k1x2k2···xmkm的系数,因此称(k1,k2,…,kmn)为多项式系数.当n=2时,(k1,k2n)即为二项式系数.关于二项式系数及多项式系数的研究种类繁多,在Guy的《Unsolved problems in number theory》及Dickson的《History of the theory of Numbers》均有大量的篇幅是关于二项式系数及多项式系数的,其中关于二项式系数及多项式系数的研究可以分为三类：多项式系数的整除性质,多项式系数的同余性质,及与多项式系数相关的丢番图方程.本文主要介绍了以下三种多项式系数和：本文的主要结果如下：1.在第二章,我们研究了多项式系数和Sn,mr的内部结构,并以此给出Sn,mr的整除性质.2.在第三章,我们通过第一章的结果及第三章给出的关于Sn,mr及Tn,mr的同余式得出了关于Tn,mr的整除性质,并讨论了Sn,mr及Tn,mr的最大公因数相关的问题.3.在第四章,我们推广了McIntosh的Lucas性质理论,并对其间的关系进行了一定的讨论,从而得出了多重Lucas性质及Lucas性质的相互关系,并以此证明了Sn,mr及Tn,m均具有Lucas性质,不仅如此,我们还定义了部分高阶Lucas性质,并证明了STn,m,Trn,m, Apery数均具有部分2阶Lucas性质.4.在第五章,我们研究了一类与多项式系数有关的丢番图方程,并由此推广了Erdos关于二项式系数非幂的结果,得出多项式系数几乎非幂.
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