本文主要利用分析方法,包括数学归纳法、变分法、PDE等讨论模糊图像去噪、图像去模糊、图像盲去模糊以及图像超分辨率重建和分割等问题。为此我们把所要处理的问题转化为能量泛函极小化问题,建立变分模型,并讨论能量极小化问题解的存在性、唯一性;其次是导出Euler-Lagrange方程;然后利用负梯度下降法得到相应的热流方程,并探讨此热流方程解的存在性、唯一性等;最后求此方程的数值解,通过数值试验结果,验证了模型的有效性。本文的主要研究成果有以下几个方面:1.数字图像的非盲去模糊研究对于模糊算子已知的情况,我们做了两个方面的研究,其中一个是提出了基于双侧滤波的去噪声模型,首先利用构造法得到了能量极小解的存在性,然后利用离散泛函分析法与数学归纳法讨论了极小解的数值解。另一个是提出了去噪声与去模糊相结合的交替迭代算法,首先利用去噪的结果作为去模糊的初始值,然后又用去模糊的结果作为去噪声的初始值,如此循环,得到最后的去噪去模糊结果。对于上述两个方面的研究,文中给出了数值试验证明了去噪模型与交替迭代算法的有效性。2.数字图像的盲去模糊研究对于模糊算子未知的情况,我们也做了两个方面的研究。其中一个是对盲去卷积模型的理论研究,首先采用正则化的方法得到了能量极小解的存在性,其次利用次微分理论和BV函数理论,导出Euler-Lagrange方程,最后利用负梯度下降法得到热流方程。为了证明热流方程解的存在性,首先依据数值计算模式,通过讨论离散的热流方程得到一些估计,然后利用这些估计得到连续形式热流方程解的存在性。另一个是对灰度与彩色模糊图像,提出了基于双侧滤波的的盲去卷积模型。在实验部分,与TV盲去卷积模型和非盲去卷积模型修复结果进行了比较。3.图像超分辨率重建与分割相结合的研究大多数情况下,图像超分辨率重建与图像分割是分开进行的。受MichaelNg超分辨率模型与松弛的Mumford-shah泛函启发,我们提出了新的变分模型,可以同时高分辨率重建和图像分割。由于受光滑正则项的影响,此模型还可以有填充的作用。