在数论的研究中,多项式和一些递推序列一直深受很多学者的喜爱,特别是斐波那契数列、卢卡斯数列、佩尔数列以及斐波那契多项式、卢卡斯多项式和车比雪夫多项式等。近几年来许多专家、学者们从各个方面对这些多项式和递推序列进行了研究,并得到了很多有趣的结果。一方面是单纯的研究多项式和递推序列本身的一些性质,比如自从日本的学者研究了斐波那契数列的倒数和,之后很多学者对数列以及多项式的倒数和问题进行了研究,同时得到了很多关于多项式和递推序列的恒等式,除了倒数和,最近有学者还研究了多项式和递推公式倒数积的问题,同样也得到了很多有趣的恒等式。另一方面就是研究多项式、递推序列与其它的多项式或递推序列之间存在的关系,比如与一些正交多项式之间的关系或者是数列与正交多项式的关系。本文受之前已有结果的启发,给出了以下几个结论:本文第一方面主要是研究了Pell数列和Lucas多项式倒数的无穷积的问题,主要是利用初等方法,以及Pell数列和Lucas多项式已有的一些性质,将无限的问题先转换为有限的问题,逐步缩小证明的范围,最终转换为证明一个不等式,再利用放缩的方法,得到我们想要的结果。本文的第二方面主要是研究Lucas多项式与第一类Chebyshev多项式、第二类Chebyshev多项式之间的关系,主要利用积分变换的方法,得到了用第一类Chebyshev多项式、第二类Chebyshev多项式来表达Lucas多项式的恒等式,反之也得到了用Lucas多项式来表达第一类、第二类Chebyshev多项式的一些恒等式。