周期序列与循环码的码字联系紧密,循环码的每一个码字在循环移位等价下的等价类与周期序列一一对应.利用二者之间的这种联系,可以由循环码构造序列集,也可以从序列集构造循环码.序列的相关函数是刻画密钥序列伪随机性的重要指标之一.循环码的重量分布不仅可以反映其纠错能力,而且针对某些检错和纠错算法,还可计算检错和纠错的错误概率.基于序列和循环码的迹函数的表达式,序列的相关函数和循环码码字的重量都可以由有限域上指数和的适当组合形式表示.因此,序列的相关分布与循环码的重量分布都能转化为有限域上指数和的值分布.本文运用有限域上的指数和与代数方程解数的讨论,研究了m-序列与其某些特殊采样因子对应的采样序列的互相关分布以及循环码的构造与重量分布.低相关序列在密码系统与CDMA通信系统等领域有着广泛的应用,而m-序列及其采样序列通常用于低相关序列族的设计.因此,寻找使得与m-序列的互相关函数取值较少的新的采样因子是一个有趣的问题.本文首先得到了一类二元Niho型采样因子d,证明了d-采样序列与m-序列的互相关函数有4个取值;通过有限域上元素的极坐标表示法,确定了由d定义的一类指数和的四值值分布.基于此,进一步确定了当采样因子d与m-序列周期的最大公因子为3时,该m-序列与其三条d-采样序列中每一条采样序列的互相关分布;另外,我们也计算了由采样因子d定义的具有二个非零点与四个非零重量的循环码的重量分布;还利用d构造了一类序列集,并确定了序列集中序列之间的相关分布,其中在某些情况下,它是低相关序列集.采用多相位的p-元序列构造理想相关序列在一定程度上能满足CDMA通信系统中地址码不断增加的实际需求.本文发现了一类奇素数p-元Niho型采样因子,证明了这类Niho型采样因子对应的采样序列的和序列与m-序列的互相关函数有3个或4个取值,并运用有限域上的指数和与代数方程的解数确定了其互相关分布.同样基于代数方程的解数讨论与完全非线性函数和几乎完全非线性函数的性质,并通过有限域上多项式的因式分解,得到了生成多项式为（x+1）mα（x）mαe（x）的循环码具有参数[5m-1,5m-2m-2,4]的充分必要条件,并构造了几类新的具有上述参数和生成多项式的最优五元循环码.