【摘 要】
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近切触黎曼流形最早于上世纪五十年代末被提出来,作为近Hermitian流形的奇数维对偶,最近七十年来近切触黎曼几何不断吸引着国内外众多几何学者的高度关注,其中包括国内伟大的几何学家陈省身先生.时至今日,近切触黎曼几何已经成为黎曼几何的基本研究分支之一,有着十分丰富的研究成果,它不但对现代微分几何和拓扑学的一些研究分支产生了深远的影响,也在理论物理、力学等研究分支有着广泛和重要的应用.本文借助黎曼几
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近切触黎曼流形最早于上世纪五十年代末被提出来,作为近Hermitian流形的奇数维对偶,最近七十年来近切触黎曼几何不断吸引着国内外众多几何学者的高度关注,其中包括国内伟大的几何学家陈省身先生.时至今日,近切触黎曼几何已经成为黎曼几何的基本研究分支之一,有着十分丰富的研究成果,它不但对现代微分几何和拓扑学的一些研究分支产生了深远的影响,也在理论物理、力学等研究分支有着广泛和重要的应用.本文借助黎曼几何中的经典分析方法,结合Lie群、Lie代数和子流形几何中的工具和结果,致力于研究近切触黎曼几何中的一个分支——近切触度量结构的一些分类问题.围绕三维和五维近切触度量结构,本文得到了一些重要问题的分类定理,推广了近切触黎曼几何中的一些经典结果,丰富了近切触几何的研究,还对一些公开问题给予了解答.论文每章的具体研究内容和主要结果如下:第二章研究三维近余辛流形在局部Φ-对称和共形平坦条件下的分类问题.本章证明了如果近余辛3-h-a-流形M是局部Φ-对称的,那么流形的标量曲率沿着切触分布是不变的当且仅当M局部等距于黎曼乘积R × N2（c）或者带有左不变近余辛结构的幺模Lie群（具体地,M局部等距于刚体移动群的泛覆盖E（2）,Heisenberg群H3,或者Lie群E（1,1））,其中N2（c）表示高斯曲率为常数c的曲面.另外,本章证明了如果近余辛3-h-a-流形的标量曲率沿着Reeb向量场不变,那么流形是共形平坦的当且仅当它局部等距于R × N2（c）.特别地,本章还通过构造反例给出了上述定理中的一些条件的必要性说明.第三章研究三维trans-Sasakian流形的分类问题.本章首先给出了三维局部对称的trans-Sasakian流形的完全分类,并借此完成了三维齐性trans-Sasakian流形的分类,即,三维trans-Sasakian流形是齐性的当且仅当它等距于R×N2（c）或者欧式平面的刚体移动群的泛覆盖E（2）,可交换群R3,Heisenberg群H3,3-球群S U（2）或者三种非幺模Lie群.另外还对S.Deshmukh提出的公开问题给予一个否定的解答,证明了:如果三维trans-Sasakian流形满足dβ∧η=0,那么α=0或者β=0,但是α或β其中一个为零不一定意味着另外一个是常数（即使流形是紧致的）.以上这些结果给出了三维trans-Sasakian流形的平凡性的一些新刻画.第四章研究五维局部对称近余辛流形的分类问题,证明了 CR-可积的五维近余辛流形是局部对称的当且仅当流形局部等距于R与局部对称的四维K?hler流形的黎曼乘积.
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