算子理论产生于二十世纪初，由于其在数学和其它科学中的广泛应用，所以在二十世纪的前三十年就得到了很大的发展．本文的内容主要是可分Hilbert空间上2×2算子矩阵的逆及正压缩算子约当积的谱性质．本文共分为四章，各章的主要内容如下：第一章主要介绍本文要用到的一些符号、概念及定理．首先我们介绍了一些符号的意义，例如Moore-penrose逆，自伴算子，正算子，压缩算子，谱，约当积等概念；接下来我们介绍了一些熟知的定理，如极分解定理，谱映射定理等．第二章主要研究在无限维Hilbert空间上的2×2算子矩阵的逆的问题．我们基于Schur补的思想，利用算子分块技巧，讨论了Hilbert空间H（?）K上的2×2算子矩阵在A的值域闭和A的值域不闭两种情况下可逆的充分必要条件．第三章我们根据Choi的研究，将对矩阵的研究工作推广到了对无限维复可分Hilbert空间上的算子的研究．我们首先讨论了在可分Hilbert空间上，正压缩算子约当积的谱性质．文中给出了对两个正压缩算子A和B，-1/4∈σ（AB+BA）成立的必要条件，即令A，B∈β（H）1+，如果-1/4∈σ（AB+BA），那么下列结论成立：（1）‖A‖=‖B‖=1．（2） A和B均不可逆．（3） 1/4∈σ（AB）．接着我们对正压缩算子极小谱对的性质进行了刻画．通过两个定理，我们回答了在何种条件下，对一个正压缩算子A，存在正压缩算子B，使得-1/4∈σ（AB+BA）成立．同时我们还得到，当空间维数大于2时，满足条件的算子B是不唯一的．第四章我们讨论了由第3章的讨论引出的一个问题．在第三章中，我们得出结论，存在两个正压缩算子A和B，使得σ（AB+BA）∩（-∞，0）≠（?），自然的我们要问，是否存在两个正压缩算子A和B，使得当AB+BA≠0时，AB+BA≤0成立呢?经过讨论，我们对这个问题给予了否定的回答．同时我们给出了AB+BA≥0成立的充要条件．