【摘 要】
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大量研究表明具有非局部特性的分数阶微分算子非常适用于描述具有记忆特性和遗传性质的材料.因此,近年来分数阶微分方程得到了广泛的关注和应用.然而很多分数阶微分方程的解析解是很难得到的,于是在实际应用中数值模拟成为研究分数阶微分方程的一个重要手段.本文致力于二维Riesz空间分数阶扩散方程及分数阶Sine-Gordon方程的有效数值格式及快速算法的研究.第二章中,采用ADI-CN格式将二维Riesz空间
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大量研究表明具有非局部特性的分数阶微分算子非常适用于描述具有记忆特性和遗传性质的材料.因此,近年来分数阶微分方程得到了广泛的关注和应用.然而很多分数阶微分方程的解析解是很难得到的,于是在实际应用中数值模拟成为研究分数阶微分方程的一个重要手段.本文致力于二维Riesz空间分数阶扩散方程及分数阶Sine-Gordon方程的有效数值格式及快速算法的研究.第二章中,采用ADI-CN格式将二维Riesz空间分数阶扩散方程转化成一系列相互独立的一维问题.基于所得到的一维问题的系数矩阵均为实对称正定Toeplitz矩阵,我们提出了一种快速算法来加速该数值格式的实现.最后通过数值算例验证了理论分析的正确性及发展的快速算法在实现该数值格式时的高效性.第三章中,介绍了一个拟紧差分格式求解二维Riesz空间分数阶扩散方程.并运用一些新的技巧证明了该数值格式在离散l∞范数下的收敛阶为O（τ2+hx4+hy4）.基于所得差分方程组系数矩阵的特殊形式,提出了一种新的快速算法用于加速该差格式的实现.最后给出一些数值算例验证了理论分析的正确性及发展的快速算法在执行该差分格式时的高效性.第四章中,提出了一个守恒隐式差分格式求解一维Riesz空间分数阶Sine-Gordon方程.并对该数值格式进行了严格的理论分析.为了降低计算开销,提出了一种修改的牛顿迭代法来加速该差分格式的实现.最后通过一些数值实验验证了差分格式的有效性及发展的修改的牛顿迭代法的高效性.第五章中,将第四章发展的差分格式拓展到求解二维Riesz空间分数阶Sine-Gordon方程.并给出了该差分格式的理论分析结果.为了降低计算量,我们采用一种快速算法来加速该差分格式的实现.第六章中,为了避免迭代求解非线性方程组,我们发展了一个线性化差分格式求解时间分数阶Sine-Gordon方程.并对该数值格式进行了严格的理论分析.最后通过数值算例验证了理论结果的正确性.
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