【摘 要】
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多个体系统理论是控制理论界的一个研究热点.所谓的多个体系统是按照一定的图结构耦合起来的微分方程组或差分方程组.其研究的主要问题包括一致性问题、编队控制、包含控制以及群体聚集问题等.Kuramoto模型是一类特殊的非线性多个体系统,它在物理学、生物学及工程学中得到了广泛的应用.本论文主要研究了高维的Kuramoto模型,借助于控制理论、非线性系统理论、微分方程理论和代数图论将二维空间中的Kuramo
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多个体系统理论是控制理论界的一个研究热点.所谓的多个体系统是按照一定的图结构耦合起来的微分方程组或差分方程组.其研究的主要问题包括一致性问题、编队控制、包含控制以及群体聚集问题等.Kuramoto模型是一类特殊的非线性多个体系统,它在物理学、生物学及工程学中得到了广泛的应用.本论文主要研究了高维的Kuramoto模型,借助于控制理论、非线性系统理论、微分方程理论和代数图论将二维空间中的Kuramoto模型的许多重要结果推广到了一般的n维空间中.具体研究结果如下:首先,研究了系统初值位于同一球面上的高维Kuramoto模型.第一个提出了关于一致性误差的矩阵Riccati微分方程.对于具有相同振荡器的情况,首次证明了当有向图具有有向支撑树时,系统状态能以指数速度收敛到一致点.对于不同振荡器的情况,当有向图是强连通的时候,提出了系统实现实际一致性的一个充分条件.其次,研究了系统初值位于不同球面上的推广的高维Kuramoto模型.对于平衡点判别问题,当有向图具有有向支撑树时,得到了判别平衡点的充要条件.对于一致性问题,当有向图为强连通时,证明了高维空间Kuramoto模型在半个空间中可以实现一致性.对于特殊的图,比如树和完全图,证明了系统能实现几乎全局一致性.最后,研究了光滑曲面上基于有向图的高维Kuramoto模型.对光滑曲面提出了一个新的限制条件,使得在此类光滑曲面上,已有的关于高维Kuramoto模型的一系列结果得到了推广.当有向图具有有向支撑树时,得到了系统的平衡点都是一致点的充要条件.当有向图是强连通时,证明了系统能实现一致性.
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