非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是数学物理特别是孤立子理论最重要的研究对象之一.通过对非线性波方程的行波解,数值解以及其解的稳定性的研究,人们能够逐步弄清事物在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻的描述事物的本质特征,这极大地推动相关学科如物理学,力学,应用数学以及工程技术等学科的发展.正是在这种思想的指导下,本文从动力系统分支理论和微分方程定性理论的角度来研究一类非常重要的非线性波方程Gardner方程,研究了它的精确行波解及其有趣的分支现象,获得了一系列新的结果.全文具体的研究工作如下第一章是绪言,首先概述了非线性波方程的历史背景以及应用领域,其次是对非线性波方程的求解方法作了介绍;再是对本文中所用的动力系统分支方法的历史背景、前人的研究成果及分支方法的一些基本概念和定理作了介绍,并通过nKdV方程演示了该分支方法的具体操作过程.最后概述本文的主要工作及其结果.第二章采用动力系统分支方法研究了Gardner方程的精确行波解,首先是经过一个行波变换得到该方程所对应的平面系统的分支相图,其次是针对分支相图中的某些特殊轨线得到该方程不同参数下的各种新的精确行波解,包括孤立波解、周期波解、爆破波解,周期爆破波解以及扭波解,最后借用Mathematica软件一一验证了解的正确性.第三章对Gardner方程的精确行波解作进一步分析,发现了一些有趣的分支现象,即周期波可以分支出孤立波;扭波可以从孤立波和爆破波中分支出来;Gardner方程的孤立波可以分支出KdV方程的爆破波;KdV方程的周期爆破波可以从Gardner方程的周期波中分支出来,并给出了这些分支现象的具体波形变化图.第四章是对本文工作的一个总结和展望.