在数学领域中,谱分析占有很重要的一席之地,而第一正特征值正是谱的主阶.本文主要研究的是偏微分方程中的一个特征值相关问题:Laplace算子第一正特征值的渐近性质.在前人的研究中,发现在Dirichlet边界下,Laplace算子特征值具有很好的区域单调性质,即:随着区域的增大,特征值会减小.之后,很快就有人发现在Neumann边界条件下,这个单调性质并不成立.却鲜有人研究在混合边界条件下Laplace算子特征值的单调情况.本文研究的正是在混合边界条件下,Laplace算子特征值的渐近性质.第一章为绪论,首先,本文简单介绍了Laplace算子特征值的现实意义和国内外研究现状,并给出了本文的研究内容和主要结论.第二章为理论基础,介绍了文章用到的一些理论,如贝塞尔方程、极小极大值原理和Sturm-Liouville理论等.第三章为文章的主要部分,给出了在四种不同混合边界条件下Laplace算子特征值的渐近性质.首先,用变量分离的方法求解Laplace算子特征值问题.分为与角度相关的问题一和与半径相关的问题二.对于问题一,采用常数变易法求解;对于问题二,为了简化运算,首先进行变量替换,将此方程转化为Bessel方程,采用级数展开的方法进行求解,将两个子问题的解带入原方程,得到最终解.通过求解,将二维关系映射到一维.其次,用极小极大值原理证明了Laplace算子特征值的严格递增性,找到了第一正特征值为μ₁₁,并给出了证明.接下来,本文研究了在四种不同混合边界条件下Laplace算子第一正特征值的渐近性质,并给出了证明.最后,对本文进行总结,并给出了本文可以改进的地方,拓展了今后可以继续研究的方向.