单峰型问题是组合序列研究中经久不衰的课题之一,而对数凹凸性问题又是单峰型问题的重要组成部分。关于对数凹凸性问题的研究有助于人们了解组合序列的性态、分布状况以及增长率的变化情况。另一方面,对数凹凸性还是获取组合不等式的重要来源,而且在组合估计中也具有特别意义。本文综合利用几种方法研究各种组合序列的对数凹凸性问题,重点研究了组合序列的对数平衡性(对数平衡性是特殊的对数凸性),并给出组合序列对数平衡性的一些新的充分条件。同时,还研究了一些特殊序列的对数凹(凸)性。主要内容如下:第二章给出了关于组合序列对数平衡性的一些新的充分条件。首先,给出了两个对数凸序列的乘积序列是对数平衡的充分条件。基于这一结论,不仅证明了一些与著名的组合序列相关的序列的对数平衡性,而且讨论了广义Motzkin数Mn(b,c)及其相关序列的对数平衡性。其次,研究了两个对数平衡序列的和序列保持对数平衡性的充分条件。还证明了对数平衡序列的一个重要性质,即对数平衡序列的算术平方根序列仍是对数平衡的。最后,利用对数平衡性的定义证明了一些序列的对数平衡性。第三章主要研究几个特殊序列的对数凸性。对于第一类Cauchy数{an}≥0和第二类Cauchy数{bn}≥0,研究与{an}n≥0和{bn}n≥0有关的某些序列的对数凸性。另一方面,我们讨论第一类广义Cauchy数{cf[1](n)}和第二类广义Cauchy数{cf[2](n)}的凸性,其中/=(/0,f1,f2,…,fn,…)是一个非负实数序列,主要给出了序列{(-1)ncf[1](n)}n≥1(或{cf[2](n)}n≥0)是凸的一些充分条件。第四章给出了关于组合序列对数凹性的一些充分条件。主要研究当{zn}n≥0是对数凹(凸)序列时,{Znn}n≥0的对数凹性问题。此外,还应用所得结果证明了一些序列的对数凹性。