【摘 要】
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在本篇论文中,我们考虑一类非局部反应扩散方程初边值问题的爆破ut- Aαu = up,u(x, t)|Dc= 0,u(x,0)=u0(x).其中x∈D,D=(0,1),Dc=R1D.Aαu(x) = CαP.V.∫D∪Dτu(y)- u(x)
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在本篇论文中,我们考虑一类非局部反应扩散方程初边值问题的爆破ut- Aαu = up,u(x, t)|Dc= 0,u(x,0)=u0(x).其中x∈D,D=(0,1),Dc=R1\D.Aαu(x) = CαP.V.∫D∪Dτu(y)- u(x)|x-y|1+αdy.这里P.V.为柯西主值且Cα=2α-1αΓ((1+α)/2)Π1/2Γ(1-α/2).第一章给出了有关反应扩散方程的发展和应用,包括物理学,生物学和地球科学等领域,非局部分数阶拉普拉斯算子的来源;爆破的研究方法;国内外研究现状和本文的结论.第二章给出了一些非局部微积分的定义,定理和公式;还罗列了半群的一些估计和Sobolev空间的嵌入定理.第三章给出了两种形式爆破,即点态爆破和范数爆破.在p>1条件下,首先用不动点定理和解析半群理论证明解在适当空间关于时间的局部存在性.对于点态爆破,在给出非局部反应扩散方程的极值原理,进而证明比较原理的基础上,利用原方程的精确解构造爆破的下解,再用比较原理知存在爆破解并且得到爆破时刻和爆破速率.对于范数爆破,利用解析半群理论和延拓定理研究了此类方程的爆破准则;运用这一准则和能量估计得出非正能量初值条件下Lp+1―爆破解,并估算了反应项的增长指标p与非局部指标α的依赖关系,具体的是:当0<α<1,p∈(1,11-α],当1≤α<2,p为大于1的任意值,解以Lp+1范数爆破.从中窥探到经典扩散现象与反常(非局部)扩散现象的区别.第四章提出在论文的完成中遇到的一些问题及可能的解决途径.
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