黎曼研究了如何对某个拓扑曲面上的复结构进行参数化的问题,我们一般称之为黎曼曲面模问题.其实抓住这个问题的实质是非常困难的.幸运的是,泰希米勒通过考虑模空间的万有覆盖空间,问题才得以解决.阿尔福斯称此万有覆盖空间为泰希米勒空间.近几十年来,泰希米勒空间理论取得了非常重大的成果,对数学中的其他方向的影响越来越大.许多数学家都在关注泰希米勒空间理论,其中低维拓扑学家Thurston也对此进行了研究.利用曲面上简单闭曲线(以及更一般的可测叶状结构)的几何相交数,Thurston给出了泰希米勒空间的紧致化.在本文中,通过考察简单闭曲线的代数相交数,我们将从另一个角度研究简单闭曲线的性质,并据此研究黎曼曲面的性质.本文的内容分为如下三个部分:第一个部分我们介绍本文的研究背景,问题的提出,研究的现状,本文的主要工作和创新点.第二部分介绍一些预备知识和泰希米勒空间的紧致化(其中涉及Fricke空间、裤子分解、全纯二次微分).第三部分我们通过研究曲面上的简单闭曲线来研究曲面.一般而言,有两种方式去研究简单闭曲线,分别是讨论简单闭曲线的代数相交数和几何相交数(它们的同伦类中相交点的最小值).在本文中,我们考虑简单闭曲线的代数相交数(此时需要考虑简单闭曲线的同调类).直接计算代数相交数是困难的,我们的做法是将简单闭曲线投影到某个空间中,然后可以在投影空间中研究它们的性质.