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本硕士论文借助于计算机符号计算系统Maple和Mathematica，以微分方程理论为基础，研究了非线性弦振动方程和一类变系数Boussinesq方程的Painleve检验、非线性弦振动方程和一类变系数Boussinesq方程的相似约化、一类反应扩散方程的首次积分解法等问题，并取得了一些新颖而又有意义的成果。随着生产实践和科学技术的迅猛发展，非线性科学在各领域内得到了广泛的应用，并取得了一系列可喜的成果。由于非线性问题常常用非线性偏微分方程来描述，这使得非线性偏微分方程也越来越与其它学科密切相连，因而非线性偏微分方程的求解和对其解的性质的研究成为了理论和实践中一个备受关注的研究课题。由于非线性偏微分方程的复杂性，至今仍有大量的偏微分方程无法求出精确解。虽然已经求出很多微分方程的精确解，但是求解方法也是各有技巧，至今尚无一般的求解方法。因此为了给数值计算等方法提供理论依据或讨论偏微分方程的解可能具有的性质，人们有时不求解方程而直接研究偏微分方程解的特性。完全可积的非线性偏微分方程往往具有Painleve性质、Backlund变换、Darboux变换、Lax对等一些非常好的特性。一个偏微分方程完全可积当且仅当它可以用反演散射法求解，然而却没有一个系统的方法来确定一个微分方程是否可以用反演散射法求解。Weiss、Tabor和Camevale提出的WTC算法是检验一个偏微分方程(组)是否具有Painleve性质的方法。如果一个方程(组)通过Painleve检验，它将满足完全可积的必要条件；反之，则方程(组)不是完全可积的。经典无穷小约化是求非线性偏微分方程解析解的一个重要的方法，这种方法用单参数变换群使微分方程降阶，并求得其相似解。1989年，Clarkson与Kruskal在研究Boussinesq方程的相似解时提出了CK直接方法，这种方法不涉及群论的思想，它直接寻求方程形如u(x，t)=U(x，t，w(z(x，t)))形式的解。2002年，冯兆生在研究Burgers-KdV方程的精确解时提出了首次积分法，这是基于除法定理和Hilbert零点定理的一种求方程精确解的方法。基于上述理论和方法本文完成了以下三个方面的工作：一、应用WTC算法对非线性弦振动方程和描述顺流方向可变剪切流动的一类变系数Boussinesq方程作了Painlevé分析，得到了弦振动方程具有Painlevé性质和变系数Boussinesq方程在系数f(x)和g(x)满足一定约束条件的情况下具有Painlevé性质的结论，同时也得到了这两个方程的B(?)cklund变换。二、应用经典相似约化方法对弦振动方程作了相似约化，得到了其相似解和相似约化；应用CK直接方法对弦振动方程和变系数Boussinesq方程作了相似约化，分别得到了它们的相似解和相似约化；并且得到了这两个方程的一些新的显式解。三、应用首次积分法求解了一类反应扩散方程，得到了其新的精确解。以上述第二部分内容为基础的学术论文《非线性弦振动方程的相似约化》已被《工程数学学报》(EI检索，核心期刊)录用；以上述第三部分内容为基础的学术论文《一类反应扩散方程的精确解》已被《数学研究与评论》(核心期刊)录用。正式录用通知见附录。