【摘 要】
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本文针对线性n ?赋范空间和线性（ 2, p ）?赋范空间,研究了Aleksandrov问题和Mazur-Ulam定理.并且给出线性n ?赋范空间的一些性质和定义,进而研究了等距,连续和线性之间的关系.主要的成果包括以下四个方面:第一章在线性n ?赋范空间中引入弱n ?等距的定义,通过研究n ?等距和弱n ?等距之间的关系,最后证明了:设f :X→Y为线性n ?赋范空间的弱n ?等距,如果f满足如
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本文针对线性n ?赋范空间和线性（ 2, p ）?赋范空间,研究了Aleksandrov问题和Mazur-Ulam定理.并且给出线性n ?赋范空间的一些性质和定义,进而研究了等距,连续和线性之间的关系.主要的成果包括以下四个方面:第一章在线性n ?赋范空间中引入弱n ?等距的定义,通过研究n ?等距和弱n ?等距之间的关系,最后证明了:设f :X→Y为线性n ?赋范空间的弱n ?等距,如果f满足如下条件:⑴若x1 ? x0 , x2 ? x0 ,…, xn ? x0 =ρ,则（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）f x1 ? f x0 , f x2 ? f x0 ,…, f xn ? f x0≤ρ.⑵若x1 ? x0 , x2 ? x0 ,…, xn ? x0 =Nρ,则（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）f x1 ? f x0 , f x 2 ? f x0 ,…, f x n? f x0≥Nρ.⑶对于x0 , x1 , x2 ,…, xn∈X, x0 , x1 ,…, xm为m ?共线当且仅当（ ） （ ） （ ）f x0 , f x1 ,…, f xm为m ?共线, m = 2,n.那么, f为n ?等距.第二章针对线性n ?赋范空间,给出n ?连续和保n ?距离等式映射的定义.在联系连续,等距和线性关系的基础上,得到这样的结论:设X和Y为两个线性n ?赋范空间,映射f :X→Y保n ?距离等式,ρ为对于f的规函数.如果ρ为单射, f在某点θ≠x0∈X处n ?连续,那么f为仿射.第三章在线性（ 2, p ）?赋范空间中讨论了关于等距和线性关系的结论,并且证明了Mazur-Ulam定理在线性（ 2, p ）?赋范空间中成立.也即:设X和Y为线性（ 2, p ）?赋范空间.若映射f :X→Y为2?等距,则f为仿射.第四章针对线性n ?赋范空间,引入一般n ?等距和保一般距离n性质的定义.并且得到:如果对于所有的n∈N,映射f :X→Y满足保一般距离n的性质,以及对于所有的x1 ,…, xn , y1 ,…,y n∈X和x1 ? y1 , , xn ? yn≤1,有f （ x1 ） ? f （ y1 ）, , f （ xn ） ? f （ y n ）≤x1 ? y1 , ,xn ? yn.那么, f为一般n ?等距.
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