零点集和奇异集的测度估计和几何结构是偏微分方程解的重要研究内容.它们既是偏微分方程解的重要几何特性，又与解的增长性，渐近性等相关，是研究偏微分方程解的一些深刻性态的重要工具之一.函数零点集和奇异集的研究涉及到数学的许多领域，包括PDE理论，复分析，几何分析，几何测度论等等，进而产生一系列非常深刻的理论以及一些新的思想和方法，因此研究函数的零点集和奇异集的性质具有非常重要的理论意义.　　在研究零点集和奇异集的性质时，所谓的“频率函数”起着非常重要的作用.频率函数最初是用来描述调和函数的增长性的量.对调和函数而言，其频率函数具有经典的单调公式.由此可以得到调和函数的许多重要的性质，包括双条件不等式，消失阶的控制等等.以频率函数为工具，可以得到调和函数的零点集的测度估计.在本文中，我们研究了双调和函数，k重调和函数和Heisenberg群上的调和函数（又称为H调和函数）的零点集.进一步地，我们还讨论了k重调和函数的增长性以及H调和函数的水平奇异集的几何结构.　　双调和方程是最简单的，也是非常重要的四阶方程.而k重调和函数（k≥3）是调和函数和双调和函数的进一步推广.所以对这两类方程的零点集进行研究是非常有意义的.参考调和函数的频率函数，我们给出了双调和函数和k重调和函数的频率函数的定义.对双调和函数u，我们定义其频率函数为N(p,r)=∫B(p,r)|▽u|2+|▽△u|2+ u△u/∫(6)B(p,r)u2+(△u)2.　　对k重调和函数（k≥3），设u1=u,ui-△i-1u，i=2，3，…，k.则定义u的频率函数为N(p,r)=∫B(p,r)k∑i=1|▽ui|2+k-1∑i=1uiui+1/∫(6)B(p,r)k∑i=1u2i.　　这样定义的频率函数具有一些重要的性质.一是频率函数具有下界，即对双调和函数和k重调和函数，其频率函数都满足N(p，r)≥-C,　　其中C是只依赖于空间维数n的正常数.二是多项式的频率函数的性质:对l阶齐次k(≥2）重调和多项式，其频率函数介于l和max{0,l-2k+2}之间.三是频率函数具有单调性:对B(0，1)(∈)Rn中的k重调和函数（k≥2），当n≥3时，只要频率函数满足N(0，r)≥C0，就有N(0,r)/N(0,r)≥-C,　　其中C和C0都是只依赖于空间维数n的正常数.根据这些性质，我们建立了双调和函数和k重调和函数的双条件不等式.基于以上这些结论，我们用几何测度论和复分析的知识得出了双调和函数和k重调和函数的零点集的测度估计.进一步，我们还讨论了k重调和函数的增长性的问题，得到了全空间上的k重调和函数是多项式的充要条件.需要注意的是这个充要条件对双调和函数同样成立.　　次黎曼流形，粗略地讲，就是被赋予了一个分布及此分布上的一个纤维内积的流形，当考虑的分布为整个切丛时，次黎曼流形就成为黎曼流形.近些年来，众多学者对次黎曼流形作了大量研究，内容涉及分析、方程、代数、几何等领域.Heisenberg群是一类最简单的，非平凡的次黎曼流形.这种流形的几何结构与欧式空间有本质的区别.从欧氏空间的角度看，H调和函数是一个退化的椭圆型方程的解.而且这个方程在每一点处都退化.这些都给我们的研究带来了很多困难.我们利用H调和函数的频率函数，以及H调和函数的双条件不等式，通过几何测度论和复分析的知识，给出了其零点集的测度估计.我们还定义了Heisenberg群上函数的水平奇异集和j水平奇异集，得到了Heisenberg群上j阶齐次多项式的j水平奇异集的几何结构.对H调和函数的水平奇异集，我们首先将其分解成j水平奇异集的并，然后对j=1，2，…，通过Heisenberg群上j阶齐次多项式的j水平奇异集的几何结构，得到H调和函数的j水平奇异集的几何结构，从而得到H调和函数的水平奇异集的几何结构.从H调和函数水平奇异集的几何结构的结论，我们还给出了H1中H调和函数的水平奇异集的测度估计.