由于广义逆理论在微分方程,数值计算,最优化等许多领域中都扮演着不可或缺的重要角色,从而吸引了越来越多的专家学者从复矩阵,Hilbert空间中的有界线性算子以及环的角度对其进行了大量深入的研究,并得到了许多研究结果.本文主要讨论环上一类矩阵的MP逆,群逆,核逆,伪核逆及(B,C)-逆存在的充要条件及基于这些广义逆的偏序问题,给出了两个元是否构成偏序的充要条件.最后,本文研究∧序的极大元(其中∧是某种广义逆)和基于环上一类矩阵的MP-逆,群逆,核逆的偏序极大元问题.主要分两个部分:第一部分研究环上一类形如A=U(?)U*(其中U是酉矩阵)矩阵的MP-逆,群逆,核逆,伪核逆,(B,C)-逆存在的充要条件及基于MP-逆,群逆,核逆的偏序问题.由复矩阵的Hartwig-Spindelbock分解和四元数除环上矩阵的奇异值分解知,这类矩阵概括了所有n阶复矩阵和四元数除环上矩阵.首先,我们利用值域的包含关系,证明了 A(?)存在当且仅当(A1A1*+A2A2*)(?)和A(1,4)存在,此时有A(?)=U(?)U*.其次,我们讨论了 A的(B,C)-逆.当A=U(?)U*,B=U(?)U*,C=U(?)U*(或C=U(?)U*)时,给出了 A 的(B,C)-逆存在的充要条件及表达式.特别地,我们得到了 A的群逆(核逆)的相应结果.最后,在*,(?),(?)偏序下研究A的后继元,证明了若A1可逆,则A≤*B当且仅当B=U(?)U*,Z2]其中Y,Z满足YA1*+ZA2*=0.A≤#B当且仅当B=U(?)U*,其中B12,B22满足A1B12+A2B22=A1A2.A≤(?)B 当且仅当 B=U(?)U*.第二部分研究∧序的极大元(其中∧表示某种广义逆),当m∧=m+时,就是减偏序,当m∧=m(?)时,就是(?)偏序,当m∧=m#时,就是#偏序,当m∧=m(?)时,就是(?)偏序,∧序统一了常见的经典广义逆.同时研究A是#偏序,(?)偏序,(?)偏序下极大元的充要条件.当m∧∈m{2}时,给出∧序下后继元的表达式及极大元的充分必要条件,推广了郭金保[47]关于减偏序的相关结论.当八G{#,(?)}时,证明了 m是在∧序下的极大元当且仅当m是单边可逆的当且仅当m是可逆的.当R是半素环时,研究∧序下的极大元和零化子的关系,证明了若∧ ∈ {#,(?)},则m是在八序下的极大元当且仅当m的零化子为0.同时证明了若m∧ ∈ m{1,2}且m是在∧序下的极大元,则m是可逆的当且仅当m是群可逆的.当R是*幺正则环时,我们给出极大元和可逆元的关系并讨论了极大元的乘积是极大元的问题.最后,给出了 A是幂等矩阵集合中在*((?))偏序下的极大元的充要条件,证明了若A1是可逆的且A2(?)存在,则A是幂等矩阵集合中在*((?))偏序下的极大元当且仅当A2(?)A2=I当且仅当N(A)∩ N(A*)=0.