图和超图的特征根问题是图论研究的热点方向之一.图的匹配多项式根、r-一致线性超树的谱半径和符号图的能量是图论的三个重要研究内容.开展这三个方面的研究,对清晰地认识图和超图的结构和性质有重要理论意义.令G是一个n阶简单连通图.记MG(x)＝∑k=0[n/2](-1)km(G,x)xn-2k为图G的匹配多项式,其中m(G,k)是G的k-匹配数,0≤k≤[n/2].满足MG(x)=0的根称为图G的匹配多项式根.令H是一棵r-一致超树.H的匹配多项式定义为(?)(H,x)＝∑k=0v(H)(-1)km(H,k)x(v(H)-k)r,其中m(H,k)是H的k-匹配数,V(H)是H的最大匹配数.令S是一个n阶简单连通符号图.S的能量定义为(?)(S)＝∑ni=1|λi|,其中λi是S的邻接矩阵的特征根.本文的主要研究结果有以下三部分.1)研究了φn，m中图匹配多项式的最大根问题,其中φn，m是具有n个顶点和m条边的不含偶圈图的集合,n≤m≤3(n-1)2通过引入四个比较图匹配多项式最大根的新引理,刻画了φn,m中具有匹配多项式最大根的图.2)探索了几种r-一致线性超树中的极值谱半径问题.首先,利用超树的匹配多项式,建立了两个新颖且有效的比较超树谱半径的变换,利用它们获得了几种r-一致线性超树中具有极值谱半径的超图.其次,刻画了 r-一致线性超树中具有第三小谱半径的超图.另外,得到了给定最大度的r-一致线性超树中具有最小谱半径的超图.最后,确定了 r-一致星形超树中具有最小和最大谱半径的超图.3)考察了U2nσ中图依能量从小到大的排序问题,其中U2nσ是顶点数为2n的具有完美匹配的单圈符号图的集合,σ是符号函数.获得了单圈图能量和单圈符号图能量之间的大小关系.得到了一个比较两个符号图能量大小的新积分公式.当n≥721时,得到了U2nσ中前18个具有较小能量的符号图且对其进行了排序.