【摘 要】
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当今社会是由各种网络联系起来的复杂系统,各种网络都能很方便地模型为一个无向图、有向图、赋权图、或者随机图等.从而,与网络相关的很多研究课题都可以转化为一些图论问题,例如网络的可靠性问题可以转化为图的可靠性参数问题,如图的连通性,斯坦纳树填装数和树连通度等问题.连通度是图论的基本概念之一,它可以用来衡量一个通讯网络的性能.一个通讯网络用图来描述是很方便的,如果一个图的连通度越高,则在图的顶点或边发生
【基金项目】
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NSFC （No. 11401181 and 11701157）； Scientific Re-search Foundation for Ph.D. of Henan Normal University qd13042；
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当今社会是由各种网络联系起来的复杂系统,各种网络都能很方便地模型为一个无向图、有向图、赋权图、或者随机图等.从而,与网络相关的很多研究课题都可以转化为一些图论问题,例如网络的可靠性问题可以转化为图的可靠性参数问题,如图的连通性,斯坦纳树填装数和树连通度等问题.连通度是图论的基本概念之一,它可以用来衡量一个通讯网络的性能.一个通讯网络用图来描述是很方便的,如果一个图的连通度越高,则在图的顶点或边发生故障时,该网络仍然可以工作的可能性就越大,也就是说,该网络的可靠性越好.近些年来,数学家们又引入了一些新的连通度概念,例如限制连通度和树连通度等等,从不同的角度去研究图的连通性质.本文主要研究了几类图的树连通度.给定一个连通图G,设S是图G中至少有2个顶点的集合并且T是G的一棵子树,如果S（?）V（T）,则称T是G的一棵S-斯坦纳树.设T1与T2是图G的S-斯坦纳树,如果E（T1）（?）E（T2）=（?）且V（T1）n V（T2）=S,则称T1与T2是内部不交的S-斯坦纳树;类似地,设T1与T2是图G的S-斯坦纳树,如果E（T1）（?）E（T2）=（?）,则称T1与T2是边不交的S-斯坦纳树.对于V（G）的任意子集S,κG（S）（λG（S））表示图G中内部不交（边不交）的S-斯坦纳树的最大数目.对于k ≥ 2的整数,κk（G）（λk）G))是当S遍及V（G）的所有k元子集时的最小的κG（S）（λG（S））,称它为k-树点（边）连通度,简称κk（λk）-连通度.显然,κ2（G）（λ2（G））就是经典的点（边）连通度κ（G）（λ（G））.本文我们主要研究线图的树点连通度和原图的树边连通度之间的关系,围绕Li等人提出的如下猜想展开:对于k ≥ 2和至少有k个顶点的图G,有κk（L（G））≥λk（G）.我们获得如下结果:（1）通过最大平均度研究该问题,建立不等式κk（L（G））≥λk（G）-[[mad（G）/2]/2],其中mad（G）是G的最大平均度,同时得到对于任意整数k和r使得k≤（r2）,有κk（L（G））≥λk（G）-[[r/2/2]];（2）当k=5时,我们确认该猜想成立;（3）轮图和完全二部图K3,n满足该猜想.此外,我们还研究了完全图的笛卡尔积的κ3-连通度,对于任意两个完全图Kn1与Kn2,确定κ3(Kn1□Kn2)=n1+n2-3,对于任意k个完全图,确定（?）.
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