【摘 要】
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尽管多带小波已经被广泛的研究,但是线性相位多带小波的设计仍然是一个巨大的挑战,特别是当多带小波的带数比较大的时候.在本文中,我们主要研究了两类多带正交小波的设计问题,第一类为实线性相位多带正交小波,另一类为多带正交复小波,其中多带正交复小波包括对称正交小波和线性相位正交复小波.本文安排如下:在第一章中,我们综述了多带正交小波的基本概念、发展历史以及应用背景.在第二章中,我们主要探讨了实线性相位多带
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尽管多带小波已经被广泛的研究,但是线性相位多带小波的设计仍然是一个巨大的挑战,特别是当多带小波的带数比较大的时候.在本文中,我们主要研究了两类多带正交小波的设计问题,第一类为实线性相位多带正交小波,另一类为多带正交复小波,其中多带正交复小波包括对称正交小波和线性相位正交复小波.本文安排如下:在第一章中,我们综述了多带正交小波的基本概念、发展历史以及应用背景.在第二章中,我们主要探讨了实线性相位多带正交小波的多相位矩阵的半秩分解理论.首先,研究了向量空间的一种分解形式,得到了两类特殊的正交投影矩阵,并研究了由这两类正交投影矩阵构造的order-1仿酉块的基本性质.其次,不管滤波器组带数是偶数还是奇数,基于这两类正交投影矩阵,提出了线性相位仿酉滤波器组的完备且极小化的半秩分解理论,建立了线性相位与正交投影矩阵之间的联系.特别地,对于奇数带线性相位仿酉滤波器组,这种分解是全新的.最后探讨了在半秩分解下,仿酉滤波器组具有1阶或2阶正则性时所满足的基本条件.第三章,我们主要探讨多带正交小波的设计与应用.在半秩分解中,有两类非常重要的矩阵即初始矩阵与正交投影矩阵,而正交矩阵在这两类矩阵的参数化过程中起到了至关重要的作用,因此首先探讨了,如何利用Givens旋转矩阵来参数化正交矩阵的问题.其次,根据应用的需要,系统的设计了3,4,5,6,7,8-带具有线性相位的正交小波滤波器组.在这一章的最后一节,研究多带小波在图像压缩编码中的应用.主要测试了本文所设计的8-带小波,DCT,LOT等在图像压缩编码中的性能,实验结果表明,本文所设计的8-带小波性能卓越,特别是对于复杂图像,效果更为突出（如Barbara）.在第四章中,我们将实线性相位多带正交小波推广至复数形式.在复数域中,根据滤波器的对称性,会得到有两种形式滤波器组.一种称为对称多带正交复小波,在这类小波的滤波器组中每一支滤波器的实部与虚部同时对称或反对称,且具有相同的对称中心.另一类称为线性相位多带正交复小波,在这一类小波中,每一支滤波器要么是共轭对称要么是共轭反对称,因此它具有线性相位.在这一章,我们同样探讨了这两类正交复小波的多相位矩阵的半秩分解,以及相关矩阵的结构.根据复小波的半秩分解理论,我们发现,在复数域上2-带正交复小波中除了Haar-型小波外也不存在其它形式的具有线性相位的正交复小波.最后我们设计了具有对称性的2,3,4-带正交复小波以及具有线性相位的3,4-带正交复小波.第五章也就是本文的最后一章,在这一章中,我们首先总结了本文所做的主要工作,其次简单讨论了将来所要解决的问题以及要面对的挑战.
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