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椭圆曲线密码体制（ECC），可以看做是基于有限域上离散对数问题（ECDLP）的公钥密码体制在椭圆曲线上的推广。目前，由于其它公钥密码体制的有效攻击算法是压指数时间的，而ECDLP是完全指数时间的，这就意味着，在相同安全条件下，ECC密钥长度比其它密码体制的密钥长度更短。这带来的优势是，椭圆曲线能够用较小的开销(如宽带、计算量、软硬件实现规模、存储量等)和时延（如加密和签名速度等）来实现较高的安全性。因此，ECC特别适用于集成电路、宽带和计算机能力受限的情况如Smart卡、无线通信和某些计算机网络等。椭圆曲线特征多项式的计算，对加快Jacobian群上的除子标量乘和提高ECC实现速度有着重要意义。同时，对构造安全的双线性对密码体制的加密、签名和密钥协商方案，也有实际意义。在研究椭圆曲线特性时，一般从同构曲线入手，因为同构的曲线具有相同的特征多项式和群结构。本文主要研究了一类Jacobian四次曲线E20: y=x4+ax2+b,其中， a,b∈F和素数域Fq上的超奇异的椭圆曲线，并分别计算了其特征多项式。主要工作包括以下几个方面：（1）第一章首先介绍了ECC的研究现状以及一些亟待解决的关键问题，然后重点归纳了现有的、求解椭圆曲线特征多项式方法，主要包括：ECC求阶算法，经典曲线提升法，Selberg迹公式和指数方法研究有理点分布，曲线同构类计算，特殊曲线的特征多项式计算。（2）第三章主要介绍了有限域上两类经典的求阶算法：Schoof算法和SEA算法，并提出了袋鼠加速、大步小步（BSGS）改进策略，改进算法在原算法的基础上提高了30%和6%左右。（3）第四章讨论了一类Jacobia四次曲线E20: y=x4+ax2+b,并根据其二次特征的性质，分三类情况探讨了该Jacobia四次曲线的有理点个数和特征多项式。（4）第五章讨论了素数域Fq上超奇异Weistrass曲线E21: y+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的特征多项式，其ai∈Fq, q=pm， m为任意正整数。我们首先介绍了E1曲线的同构类，然后分别讨论各个同构类的特征多项式。