【摘 要】
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格理论是代数学的一个分支,是定义在集合系统上的逻辑运算.十九世纪四十年代,George Boole为了使传统逻辑更为精确和便于运算,引入了一系列数学符号和运算法则,创立了布尔代
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格理论是代数学的一个分支,是定义在集合系统上的逻辑运算.十九世纪四十年代,George Boole为了使传统逻辑更为精确和便于运算,引入了一系列数学符号和运算法则,创立了布尔代数,继而导致格理论的产生.到现在,格理论在诸如数据挖掘、分布式计算、电子工程、计算机科学等许多学科中得到了广泛的应用.本文总结格的分配性、模性与补性的相关概念和性质.从模格、分配格与补格三个概念外延的角度对格进行分类,观察分类并提出若干问题,如：加怎样的条件可以区分模格和非模格,唯一可比补非模格是否存在等.在根据分配性、模性与补性分类的过程中,会遇到是否存在唯一有补非模格的问题,通过查阅前人的著作发现这一问题曾经引发众多数学家的思考,关于这一问题的探索和讨论推动了格理论的前进和发展.本文对此问题的发展情况做了简单的梳理,并对唯一有补非模格的存在性定理(即Dilworth’s Theorem)的证明进行了进一步探索,把证明过程中用到的三元格直积化简为二元格直积.在问题探讨的过程中,研究了格的直积的若干性质,并对有补格关于模性的相关性质进行探索和研究,同时利用直积的性质分别构造出唯一可比补模格和唯一可比补非模格,这说明了唯一可比补格可根据是否为模格细分为唯一可比补模格和唯一可比补非模格.只靠添加条件“不含可比补元”不能区分模格和非模格,通过对更一般的情形的探讨,给出了不唯一有补格区分模格和非模格的若干结论.
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