【摘 要】
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我们要讨论的第一个问题,是由张广远的文章[2]遗留下来的。令△n表示复向量空间Cn中的单位开|x|<1。又令f:△n→Cn为全纯映射,M为一个正整数。假设原点0=（0,…,0）是f和它的M次迭代fM的孤立不动点。那么对M的每个因子m,原点也是fm的孤立不动点,并且可以定义fm在原点的不动点指数μfm（0）,于是原点处的局部Dold指数也可如下定义：这里的P（M）是M的素因子集合,求和跑遍P（M）的
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我们要讨论的第一个问题,是由张广远的文章[2]遗留下来的。令△n表示复向量空间Cn中的单位开|x|<1。又令f:△n→Cn为全纯映射,M为一个正整数。假设原点0=（0,…,0）是f和它的M次迭代fM的孤立不动点。那么对M的每个因子m,原点也是fm的孤立不动点,并且可以定义fm在原点的不动点指数μfm（0）,于是原点处的局部Dold指数也可如下定义：这里的P（M）是M的素因子集合,求和跑遍P（M）的所有子集τ,#τ是τ的基数,而Mτ=M（Πp）-1。PM（f,0）可以理解为f重叠在原点上的M周期点的数目：任一足够接近f的全纯映射f1:△n→Cn,在原点附近恰好有PM（f,0）个互不相同的M周期点,只要f1M在原点附近的不动点都是单重的。所以数目OM（f,0）=PM（f,0）/M可以理解为隐藏在不动点上的M周期轨道数。根据Shub-Sullivan[4]和Chow-Mallet-Paret-Yorke[5]以及张广远[1],OM（f,0）≥1的充要条件是f在原点的线性部分有M周期点。张广远在[2]中,先假设Df（0）的所有特征值为m1次,…,mn次本原单位根,并且m1,…,mn为互不相同的素数,M=m1…mn,然后给出了OM（f,0）≥2的一个充分条件。在[2]的最后,张广远提出的问题是：这个充分条件是否也是必要的。这就是我试图解决的第一个问题。我考虑的第二个问题是单位球面上的一个特殊区域（本质上是一个覆盖曲面）的面积和边长的比值随区域尺寸的变化趋势。这个问题产生于Ahlfors的覆盖曲面论中的那个经典不等式。根据Ahlfors的理论,假设f：△→S是一个全纯映射且f（△）∩{a1,a2,a3,]=（?）,这里的△表示复平面上的单位开圆盘,S是黎曼球面,a1,a2,a3是S上三个不同的点。那么存在正常数h=h（a1,a2,a3）,使得A（f,△）≤hL（f,（?）Δ）对以上的全纯映射.f成立,这里的A（f,△）表示f（△）的球面面积,L（f,（?）△）表示f（（?）△）的球面长度。想要计算sup那个比值。就涉及到段首提到的
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