【摘 要】
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无约束最优化问题广泛存在于众多重要领域,对于这类问题,通常采用下降算法,通过迭代逐次逼近问题的最优解.拟牛顿法是求解无约束优化问题的有效方法之一.近年来很多学者对拟
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无约束最优化问题广泛存在于众多重要领域,对于这类问题,通常采用下降算法,通过迭代逐次逼近问题的最优解.拟牛顿法是求解无约束优化问题的有效方法之一.近年来很多学者对拟牛顿法进行了探究和学习,在拟牛顿法的基础上提出了对角稀疏拟牛顿法、对角拟柯西法等,同时得到了很多重要的结论.基于这些学术成果,本文提出了广义二阶拟柯西方程,并围绕该方程做了以下研究.文章首先介绍了拟牛顿算法的基本知识、发展情况及研究现状,并简单介绍了本文的主要工作.拟牛顿法是发展相对成熟的算法,对于拟牛顿法来讲,关键是构造下降方向和线搜索步长.其中下降方向的构造取决于海森阵的近似矩阵或其逆矩阵的选取,而海森矩阵的确定主要基于拟牛顿方程的选择.本文在拟柯西方程的基础上,首次提出广义二阶拟柯西方程,该方程将二阶拟柯西方程推广到一类拟柯西方程.基于广义二阶拟柯西方程,结合最小改变策略,推导出新的对角矩阵修正公式,并提出了以下三种基于广义二阶拟柯西方程的算法.基于新提出的对角矩阵修正公式,通过引入一种简单的单调策略,提出了一种求解无约束问题的新算法——基于广义二阶拟柯西方程的单调梯度法,在一定的条件下,证明了该算法的全局收敛性，数值试验表明新算法是有效可行的.线搜索技术是构造拟牛顿法的关键步骤之一.对于基于广义二阶拟柯西方程的单调梯度法来说,不需线搜索来保证算法的收敛性,也可看做选取了特殊步长k1.在后两章,文章基于广义二阶拟柯西方程,通过引入Armijo非精确线搜索确定步长和非单调线搜索技术,提出了求解无约束优化问题的在Armijo线搜索下的对角广义二阶拟柯西法和大步长下的对角广义二阶拟柯西算法,并证明了算法的全局收敛性.数值试验表明了算法的有效性和可行性,适用于求解大规模无约束优化问题.
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