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由于实赋范线性空间上不具有类似于内积空间中具有良好性质的正交的概念,实赋范空间中若干几何对象和几何问题变得异常复杂。本文研究两类与赋范线性空间上的广义正交概念密切相关的几何问题:实赋范空间上平分集的几何结构与实赋范平面上的内接正方形问题。
作为本文主要结论之一,我们证明一个维数不小于2的赋范线性空间上两点的平分集是道路连通的。该结论改进了Horvdth在2000年给出的结果:实赋范线性空间中的平分集是连通的。
本文的另一个主要内容考虑欧氏平面上最难的公开问题:简单闭曲线的内接正方形问题在实赋范平面上的推广。我们证明:一个对称的Minkowski平面上任意一条简单闭凸曲线都可以内接一个Singer正交意义下的正方形,也可以内接一个面积正交意义下的正方形。