物理学、数学和工程技术（信号处理和图像重建）等众多领域中存在这样的问题,即寻求包含在凸集中一个点,点的像包含在另外一个凸集中,此问题被称为分裂可行问题。在医学影像学的CT图像重建中,图像重建的目标在于找到各个图像的向量,该向量的像是需要重建的原CT图。因此在数学上,CT图像重建问题是分裂可行问题的一种应用。在CT成像的整个扫描过程中,因为X射线会对接受扫描的病人产生辐射而引起一定的身体伤害,所以需要针对分裂可行问题构造快速有效的算法,将其应用于CT图像重建中,尽可能减少CT扫描过程中患者所受到的辐射。本文研究侧重于对不同问题设计高效可行的加速算法。针对具有极大单调算子和不动点的分裂可行问题和多输出集分裂可行问题分别提出了惯性Halpern迭代算法,惯性自适应CT图像重建加速算法和随机块自适应外推投影CT图像重建加速算法。并在适当条件下,证明这些算法的收敛性（或强收敛性）。实验验证了以上三种算法的可行性和有效性,并将其应用于CT图像重建中。本文主要研究工作分为三部分:1.针对一般分裂可行问题需要计算矩阵ATA的谱半径（最大特征值）的不足,提出了Banach空间中一类具有极大单调算子和不动点的分裂可行问题,并给出了新的迭代算法。该算法采用惯性技术来实现Halpern迭代算法（简称惯性Halpern迭代算法）,避免了计算的繁琐性。在有关映射单调性的相关假设条件下,证明了算法的强收敛性。实验也验证了算法的可行性和有效性。2.为构建适用于CT图像重建问题的算法,针对多输出集分裂可行问题提出了一种惯性自适应加速算法。一方面算法不直接计算闭凸集的投影,而是计算闭凸集的松弛集（半空间）上的投影,以此来提高算法可行性;另一方面算法无需计算矩阵逆,从而减少了计算机内存量;再有算法采用惯性技术和自适应规则相结合的方法以提高算法的收敛性。文中证明了在一定的条件下其具有强收敛性。此外,第二部分还将算法推广应用于分裂可行问题和多输出集分裂可行问题,拓宽了算法的应用范围。实验表明,该算法的收敛性比现有算法要好。CT图像重建的实验结果也表明在惯性算子和自适应步长的影响下,运算效率得到了显著提高。3.基于进一步减少第二部分中所提算法计算自适应步长所需的计算机内存量和CPU计算时间的问题,针对多输出集分裂可行问题提出了一种具有自适应外推步长的随机块投影CT图像重建加速算法。算法包括集合块的随机选择规则、可行性问题的随机条件以及自适应外推步长选择策略。在集合满足线性正则性等条件下,证明了算法在期望值下线性收敛,收敛速度取决于可行性问题的条件数和块的大小。此外还证明了算法在不满足线性正则性条件的情况下是次线性收敛的。最后,CT图像重建的实验结果表明,该算法是有效的,并且在重建速度和质量上优于其他算法。综上所述,本文分别针对具有极大单调算子和不动点的分裂可行问题和多输出集分裂可行问题,提出了不同的加速算法,并在适当的条件下验证了算法的强收敛性和收敛速度,实验证实了新设计算法能有效提高CT图像重建的速度和质量。