1946年,数学家I. J.Schoenberg首次系统地建立了一元样条函数的相关理论基础.自此,有关样条函数的研究、应用越来越广泛.随着样条理论、应用研究的不断深化,很多现实问题已不适合由一元样条函数来刻画、描述.1975年,王仁宏教授利用函数论与代数几何的方法开创性地建立了任意剖分下多元样条函数的理论框架,并提出了光滑余因子协调法.到目前为止,有关多元样条的理论与应用研究已经取得了丰硕成果.本文重点研究了在几何造型中比较重要的一类插值问题-具有几何约束条件的曲线、曲面插值,同时给出一类微分方程的数值求解格式,并利用光滑余因子协调方法对二元五次样条空间S53(△mn(2))进行了研究.本文共分为四章,具体内容编排如下：第一章,介绍了本文选题的研究背景及相关国内外研究概况.第二章,几何约束问题是几何造型研究中的一类重要问题,特别是在工业设计、制造领域.利用有理Bezier曲线并结合de Casteljau算法,研究了弧长约束问题的一种离散化处理方法,给出了相关误差结论,并考虑了多段曲线段间的拼接问题.同时,又进一步研究了满足型值、弧长及曲率约束条件的光滑插值问题,最后对旋转曲面面积约束及矩形域上面积约束插值问题进行了研究,给出了相应的处理算法,并结合实例验证了所提方法的可行性及有效性.第三章,样条拟插值存在于很多应用领域,也是逼近论里面讨论的一个重要内容.径向基拟插值也是一种常用的拟插值格式.结合径向基拟插值算子,我们提出了一种多层的一元4次样条拟插值格式,具有较好的逼近效果,并将它应用在KdV方程的数值求解中.构造了一种具有较高精度的数值求解格式.接下来,利用常用的低次样条拟插值并结合融合技巧,给出了一种融合样条拟插值方法,和多层B样条拟插值方法相比,又具有一个误差控制较好的优势.第四章,由于现实世界客观事物往往具有多样性和复杂性,开展多元样条函数的研究无论是在理论还是在现实应用中都显得尤为重要.利用光滑余因子协调法,我们对2-型三角剖分上5次样条空间进行了讨论,给出了该空间的一些基本特征及性质,并从卷积角度出发,给出了该空间基函数的另一种计算公式及它们的Fourier变换;利用得到的基函数,我们提出了一类具有较高精度的二元样条拟插值算子,保多项式空间P3U span{x3y, x2y2, xy3},并将其应用到二维Burgers方程的数值求解中,得到一个新的数值格式：和其它常用数值方法相比,具有构造简单、易于实现等优点：同时,利用这类拟插值算子做了图像重建的实例,结果也表明了相应方法的可行性和有效性；最后,对于具有重节点的非均匀S53(△mn(2))空间给出了满足单位分解性质的样条基函数和边界具有退化性质的非均匀B样条曲面的构造方法.