【摘 要】
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本文用李对称法对一类四阶偏微分方程和新耦合Konno-Oono方程组进行分析,得到了方程(组)的相似约化和群不变解;用Riccati展开法研究了两类非线性整数阶偏微分方程的精确解,以
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本文用李对称法对一类四阶偏微分方程和新耦合Konno-Oono方程组进行分析,得到了方程(组)的相似约化和群不变解;用Riccati展开法研究了两类非线性整数阶偏微分方程的精确解,以及对其精确解做具体的图像说明;用一致Riccati展开法解三类非线性分数阶偏微分方程,求得新的精确解.主要成果如下:1.用经典李对称方法对一类四阶偏微分方程做了对称群分析.给出了方程的李对称,得到了方程的基本相似约化,构造了约化方程的优化系统,并对约化的常微分方程以及相应于优化系统的不变解进行了研究.最后用幂级数法,得到了约化常微分方程的幂级数解,进而也就得到了相应的这类四阶偏微分方程的精确解.2.用经典李对称方法对新耦合Konno-Oono方程组做了对称群分析.首先,给出了它的三维有限子代数,并构造了该方程组所容许的李对称的优化系统;其次,用获得的优化系统对这类新耦合Konno-Oono方程组做了对称约化,并求得了它的大量的精确解;最后,基于新的守恒定理,得到了新耦合Konno-Oono方程组的守恒律.3.应用Riccati方程展开法研究了 ill-posed Boussinesq方程和四阶Burgers方程求得这两类方程的新精确解.这些解中包含有三角函数解、双曲函数解、行波解等.4.基于Jumarie的改进的Ricmann-Liouville分数阶导数和Riccati方程,用一致Riccati展开法求解非线性分数阶偏微分方程.通过对时间分数阶KdV方程时间分数阶Sharma-Tasso-Olvcver方程和广义时间分数阶Hirota-Satsuma耦合KdV方程的分析,得到了大量精确解,证明了该方法的有效性.
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