随着网络技术以及深度学习的迅速发展,高阶统计特征的数据在越来越多的学习任务中起着重要的作用。相比于一阶统计特征如均值向量特征,数据集的高阶统计特征如协方差矩阵则包含很多数据样本之间的关联信息,且分布在黎曼流形之上。传统的度量学习方法主要针对数据样本的低维低阶向量特征,利用样本对之间相似和相异性对不同种类样本进行判别性独立度量。然而,近几年的很多工作发现相比于这些传统方法,基于样本的黎曼流形特征的度量学习方法能够更好地利用了流形的结构信息,实验结果也表明黎曼流形可以有效地进行度量学习。目前广泛应用的黎曼流形都分布在高维流形空间上,并且表达方式也有所不同。然而,现有的基于流形的度量学习方法大多是基于某种特定的流形进行设计,并不能广泛应用。此外,支持向量机等基于核映射的方法也缺乏直接应用于流形的有效手段。针对黎曼流形上的度量学习问题,本文从两个方面分别提出了度量学习方法。主要包括:黎曼流形上广义高效的度量学习方法,对称正定流形上的支持向量度量学习方法。本文的主要研究成果和创新性工作有如下几个方面:1.提出了一种广义高效的黎曼流形度量学习方法。该方法适用于多种流形,如对称正定流形,高斯流形及格拉斯曼流形。该方法在对相似样本对进行度量的基础上通过引入度量矩阵的逆对不相似样本对进行度量。此外,该方法可以通过计算相似矩阵的逆和不相似矩阵的几何平均得到全局最优的解析解。2.针对每类样本可能较少这一问题,在基于核的支持向量机模型基础上,在对称正定流形上提出一种新的样本对之间的正定核,并将多分类问题转化成点对的二分类问题,该问题可以通过基于核函数的支持向量机进行求解。