无网格(meshless method)法作为近十年来迅速兴起的一种数值分析方法,它以其新颖的数值思想和先进的数值技术,得到了学术界的初步认可和广泛关注。不同于有限元法,无网格法在构造形函数时,是建立在一系列离散的点上,不需要借助网格,消除了节点之间的网格束缚,减少了因网格畸变而带来的困难,从而摆脱了有限元繁杂的单元网格生成过程。在分析裂纹等不连续问题时,无网格法具有独特的优势,其中无网格伽辽金法(EFG)法,以其精度高、稳定性好和收敛速度快等特点成为最具发展前景的一种,本文采用这种方法对线性问题和断裂问题进行了研究。(1)以线弹性力断裂学为分析手段,总结并概括了连续介质和非连续介质的断裂数值方法,阐述了国内外无网格法的研究进展。(2)基于加权残量法基本理论,论述了无网格法的几种常见的插值方法并分析了各自的优缺点,对插值方法中移动最小二乘法(MLS)进行了重点的阐述。在此基础上,对形函数里面的矩阵存在奇异性情况,给出了解决方案,对不同种类的权函数进行数值计算和分析。(3)根据线弹性断裂力学,从应力强度因子和能量释放率两个方面对裂纹体的力学行为进行描述,基于无网格伽辽金法(EFG)并对其进行改进,分析了线弹性断裂力学中应力强度因子的数值求法并在程序中成功实现。(4)对EFG法中处理不连续问题的四大类数值方法进行了系统而全面的总结和分析,这些数值方法为不连续问题的选取准则提供了参考依据。本文的创新在于对扩充形函数进行分析,改进了EFG法并建立了基于单位分解思想的无网格伽辽金法的近似位移函数,详细阐述程序设计中的一些关键问题,制定程序流程图,并给出相应的主程序。(5)基于MATLAB软件,编写了改进无网格伽辽金法计算程序,计算了MLS法近似函数,有效的分析了线弹性问题即一维杆件的计算和二维悬臂深梁的求解,验证了形函数的性质及参数的变化规律;并通过程序计算了断裂问题中的应力集中现象及应力强度因子的计算,与扩展有限元法作对比得到了较高的近似精度,讨论了权函数、节点分布密度和影响域扩大系数对求解精度的影响及变化规律,通过算例验证本文编写计算程序的准确性。