指数和是数论中的一个重要分支。在本文中,我们主要研究指数和在循环码和其它方面的应用,其中包括循环码的重量分布,单项式函数的Walsh变换,码本,信号集,和强正则图。循环码的重量分布在编码和译码中有着重要意义。在本文中,我们主要研究对偶码具有两个不同阶零点的循环码的重量分布,运用高斯周期和高斯和,首次给出了这类循环码的重量分布,突破了传统的同阶零点的情形。令qF为q个元素的有限域,mr=q,12,rgg∈F,11o(rdg)=n,22o(rdg)=n,12n≠n,12d=gcd(n,n),12nnnd=,和/Trrq表示rF到qF的迹函数。我们定义循环码{(,):,}r=Ccabab∈F,这里001111/1212/12/(,)(Tr(),Tr(),,Tr())nnrrqqrqcabagbgagbgagbg-- = …。在本文中,我们将利用高斯周期去研究下面循环码的重量分布:(1)11()ordg=n=n,n|r-1,和2g=1;(2)11()ordg=n=n,221g=g,22()ord2ng=n=,m=2,和2(1)|(1)rqn- ;(3)11o(rdg)=n,22o(rdg)=n,和12gcd(n,n)=1;(4)11o(rdg)=n,22o(rdg)=n,和12gcd(n,n)=d,特别地,我们精确给出111mn=q-,221mn=q-,12gcd(m,m)=1时循环码的重量分布。另外,我们将用高斯和来解决下面条件对应循环码的重量分布:111mn=q-,221mn=q-,12gcd(m,m)=2,并且这是一类四重循环码,特别地,我们得到一类三重码。进一步,对于一类由lF共轭元构造的循环码,我们给出了它们一种新的迹表示,然后利用指数和和分圆数来决定它们的重量分布。Walsh变换是研究密码函数性质的一个重要工具。一个有趣的问题是寻找Walsh变换取值少的函数,并且决定其Walsh变换的值分布。在一定条件下,我们将给出单项式函数1/()Tr()rNrpfxax-=的Walsh变换的值分布,且证明这类单项式函数的Walsh变换的取值不多。特别地,我们将得到一类具有三值Walsh变换的二元函数和一类具有三值或者四值Walsh变换的三元函数。进一步,我们将得到一类四重二元循环码和一类六重三元循环码。码本和信号集在码分多址系统和雷达声呐系统中应用广泛。我们利用部分差集来构造一类新的几乎差集,并用这些几乎差集去构造几乎最优的码本。我们采用部分差集给出码本的一般构造,得到几类几乎最优的码本。对于信号集,我们运用高斯和决定五类时间-相位单位信号集的最大互相关值。强正则图在图论中非常重要,且它和部分差集在一定条件下是等价的。我们将利用有限域上的分圆类和指数2的高斯和去构造强正则图,并且给出八类新的强正则图。