图论是离散数学中的一个重要组成部分,研究一个图的结构性质可以帮助我们更加清楚的认识图的内在结构,对解决计算机和生物以及其他学科问题也有着一定的帮助.在图的众多结构性质中,本文主要探讨了图的弦性和双曲率之间的关系.设G是一个有通常最短路度量d的连通图.如果对图G中的任意四个顶点x,y,u,v满足下面三个和中最大的两个之差不超过2δ:d(u,v)+ d(x,y),d(u,x)+ d(v,y),d(u,y)+ d(v,x),则称图G是δ-双曲的.如果图G不含长度大于k的诱导圈,则称图G是k-弦图.Brinkmann, Koolen和Moulton已经证明了3-弦图是1-双曲的,双曲率是1时当且仅当包含两个特殊的子图作为等距同构的的子图.对每一个k≥4,在论文中我们将证明k-弦图是-双曲的,并且确实存在一个k-弦图不是双曲的.而且,我们还将证明5-弦图是21-双曲的当且仅当不含六个特殊的图作为等距同构的子图;见图2.2.为进一步研究图的双曲率,我们将简单介绍有关图的中心和双曲率之间的联系.第一章简要介绍了树状结构在现实生活中的应用,并讲述了有关图的弦性和双曲率的研究背景和发展现状.第二章给出了论文中有关图的弦性和双曲率的主要结果及其推论.第三章主要讨论了与双曲率有关的一些树状参数.第四章给出第二章中主要结果的证明.在证明过程中,我们首先给出了两个不失一般性的假设,然后通过对满足极小性条件的测地四边形Q(x,u,y,v)进行深刻的结构分析,最终完成证明并得到满足5-弦图是21-双曲的所有极值图类.第五章提出了几个与图的中心相关的问题,并总结了几个有关图的中心和双曲率之间的关系的结论.