【摘 要】
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图G为一个有n个顶点的连通图.图G的距离矩阵D(G)=(dG(u,v))u,v∈V(G),其中dG(u,v)表示图G中顶点u和v之间的距离,即图G中顶点u到v的最短路的长度.对于u ∈V(G),顶点u在图G中的迹表示为TrG(u),定义为顶点u到图G中其他所有点的距离和,设Tr(G)表示图G中顶点迹的对角矩阵.设L(G)表示距离拉普拉斯矩阵,L(G)=Tr(G)-D(G).称L(G)的特征值为G距
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图G为一个有n个顶点的连通图.图G的距离矩阵D（G）=（dG（u,v））u,v∈V（G）,其中dG（u,v）表示图G中顶点u和v之间的距离,即图G中顶点u到v的最短路的长度.对于u ∈V（G）,顶点u在图G中的迹表示为TrG（u）,定义为顶点u到图G中其他所有点的距离和,设Tr（G）表示图G中顶点迹的对角矩阵.设L（G）表示距离拉普拉斯矩阵,L（G）=Tr（G）-D（G）.称L（G）的特征值为G距离拉普拉斯特征值,记为λ1（G）≥λ2（G）≥…≥λn（G）=0.特别地,称最大特征值λ1（G）为图G的距离拉普拉斯谱半径.DLE（G）表示距离拉普拉斯能量,DLE（G）=1/nΣi=1n|λi（G）-t（G）|,其中t（G）表示图G中迹的均值,t（G）=1/nΣi=1nTrG（vi）.设L（G）表示拉普拉斯矩阵,L（G）=D（G）-A（G）.其中,A（G）是图G的邻接矩阵,D（G）是顶点度对角矩阵.称L（G）的特征值为G的拉普拉斯特征值,记为μ（G）=μ1（G）≥μ2（G）≥…≥μn（G）=0.特别地,称最大特征值μ（G）为图G的拉普拉斯谱半径.设LE（G）表示拉普拉斯能量,LE（G）=Σi=1n|μi（G）-2m/n|,其中m表示图G的边数.图G中最大的无割点连通子图叫做图G的块.若这个块是完全图,则称这个块是图G的团.若图G中每个块都是团,则称图G是团树.第二章中,我们证明了在所有有n个顶点k个团的团树中取得最小距离拉普拉斯谱半径的是团星Ku,n1,n2,…,nk,取得最大距离拉普拉斯谱半径的是团路Pm,2,…,2,n-m-k+3（m≥3）.然后,我们给出了团星Ku,n1,n2,…,nk的距离拉普拉斯特征值与距离拉普拉斯能量.第三章中,我们给出了团路Pn1,n2,…,nk的拉普拉斯谱半径的一个上界,而且证明了所有团路中取得最大拉普拉斯谱半径的团路的顶点最大度为n-k+1.然后,我们给出了团星Ku,n1,n2,…,nk的拉普拉斯特征值,而且得到了LE（Ku,a,a,…,a）<LE（Ku,a-1,a+1,a,…,a）<LE（Ku,a-2,a+2,a,…,a）,LE（Ku,3,2a-3,a,…,a）<LE（Ku,2,2a-2,a,…,a）.由此我们猜想在团星Ku,b,c,a,…,a（b+c=2a）中取得最小拉普拉斯能量的是Ku,a,a,…,a,并进一步猜想在所有有n个顶点k个团的团星中取得最小拉普拉斯能量的是Ku,a,a,…,a,其中n=ka-k+1,a是一个不小于2的整数.
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