Clean环和正则局部环

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Clean环起源于在模消去中起着重要作用的exchange环的研究.近几十年来,众多代数学者对clean环展开了深入的研究.Clean环的研究已成为近期国际环论界研究的热点之一.(von Neumann)正则环是—个重要的环类,它在W*-代数,C*-代数,连续几何,泛函分析等领域都有应用,本文的另一研究对象正则局部环与之有着密切的联系。 在第二章,通过对唯一exchange环的研究,加深了对唯一clean环的理解.证明了环R是唯一clean环当且仅当R是abelian的唯一exchange环.并且证明了若R是左唯一exchange环,那么R/J(R)是布尔环.通过这个结论,可以进一步证明唯一exchange环是唯一强clean环.最后研究了交换的唯一clean环,给出一些等价刻画。 在第三章,研究了两类特殊的强clean环:quasipolar环和强J-clean环.证明了任意的唯一clean环和强π-正则环都是quasipolar环和强J-clean环,并证明了交换的唯一clean环上的上三角矩阵环是quasipolar环.通过对强J-clean环的研究,找出了强clean环与强π-正则环之间的差别.虽然强clean环是否具有稳定度一仍是公开问题,但强J-clean环具有稳定度一, 在第四章,通过对UR环的研究,推广了clean环,正则环,(S,2)环和G-clean环的性质,并考虑了在什么情况下UR环是clean环,研究了UR环的扩张问题,给出了大量的例子.通过对具有g-稳定度的环的研究,统一了分别具有稳定度一,幺稳定度一,(S,2)稳定度和弱幺稳定度一的环等这几类环的性质,并研究了具有UR稳定度的环。 在第五章,通过对正则局部环的研究,建立了与clean环,正则环和半局部环和UR环等一些环之间的联系.通过对除环上的矩阵环是否为n-VNL环的研究,给出了一个例子说明VNL环未必是SVNL环,否定回答了一个公开问题.最后,完全刻画了什么时候Zm上的n×n阶上三角矩阵环是VNL环。
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