本文的第一部分工作是研究点传递图的p因子临界性.p因子临界图的概念是Favaron和Yu独立地提出来的.从一个顶点数为n的图中删除任意p个顶点而得到的图仍具有完美匹配.其中p是与n具有相同奇偶性的正整数,则称该图是p因子临界的.1因子临界图与2因子临界图分别就是我们通常所说的因子临界图与双临界图.在Lovasz与Plummen所著的专著《Matching Theory》中.已经指出一个连通的顶点数为奇数的点传递图是因子临界的.一个连通非二部的顶点数为偶数的点传递图是双临界的.我们做了进一步的考虑.考虑了当p=3,4时点传递图的p因子临界性.首先.本文对点传递图的3因子临界性给出了一个清楚的刻画：一个连通的顶点数为至少是3的奇数的点传递图除圈外都是3因子临界的.该结果比Miklavic和Sparl给出的一个连通的顶点数为奇数且至少为3的交换群上的Cayley图要么是一个圈.要么是11/2可扩的这个结果更具有一般性,并且是一个更强的结果.然后，本文又刻画了点传递图的4因子临界性.我们证明了一个连通的顶点数为偶数且至少为6的非二部的点传递图是4因子临界的当且仅当它的度至少为5.利用我们的这个结果.可以推出连通非二部、顶点数为偶数且度大于4的Cayley图都是2可扩的.这解决了Chan. Chen和Yu提出的刻画所有2可扩的Cayley图这个公开问题的很大一部分.我们在研究点传递图的p因子临界性的过程中,应用了许多点传递图的s限制边连通性的结果.为了方便研究点传递图更高阶的p因子临界性，本文也专门对点传递图的s限制边连通性做了研究.图的s限制边连通度这个概念是由Fabrega和Fiol提出.可以用来更好地分析网络的可靠性.设G是一个连通图.s是一个正整数.我们称G的一个边割F为它的s限制边割.如果G-F的每一个分支都至少含有s个顶点.对于一个含有s限制边割的图G.称其大小最小的s限制边割的大小为它的s限制边连通度,记为λs（G）.令ξs（G）=minf{d（X）：X∈V（G）.|X|=s并且G[X]是连通的}.已经被证明.对于很多图都有λs≤ξ8.一个连通图G称作超s限制边连通的,简称超λs的,如果λs（G）=ξs（G）并且G的每一个s限制边割都孤立了一个具有s个顶点的分支.关于图的s限制边连通性的研究,近十年来己经吸引到了许多计算机工作者和数学工作者的兴趣.对于点传递图的s限制边连通性,王应前证明了一个连通且度至少为3、围长至少为5的点传递图是超λ2的.后来,欧见平等和杨卫华等又研究了点传递图的3限制边连通性,指出一个连通且度至少为4围长至少为5的点传递图是超λ3的.我们对更大的整数s,进一步地研究了围长较大的点传递图的超s限制边连通性.主要得到了以下一些结果：对于一个连通的、度k大于2且围长g大于5的点传递图G,我们证明了,如果k=3且g≥7,那么对于任何一个小于等于9且不等于g-1或g-2的正整数s,G都是超λs的；如果k=4且9>5,那么对于任何一个小于等于g且不等于g-1的正整数s,G都是超λs的；如果k>4且g>5,那么对于任何一个小于等于9的正整数s,G都是超λs的；更进一步,如果k>5且g>5,那么对任何一个在kg9>36时取值小于等于2g的正整数s或在k=g=6时取值小于等于2g-2的正整数s,G是超λs的.